Υπόθεση Ρίμαν: Η εμμονή με τους πρώτους αριθμούς

του Χρήστου Λάσκου

JOHN DERBYSHIRE, Υπόθεση Ρίμαν: Η εμμονή με τους πρώτους αριθμούς, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, εκδόσεις Τραυλός, σελ. 548

Η ίδια η αφαιρετική απλότητα των ιδεών των μαθηματικών ακυρώνει τη γλώσσα. Η γλώσσα μπορεί να εκφράσει ευκολότερα τις περίπλοκες ιδέες. Η πρόταση «μια φάλαινα είναι μεγάλη» αντιπροσωπεύει τη γλώσσα στην καλύτερη μορφή της, περιγράφει απλά ένα περίπλοκο γεγονός. Αντιθέτως, η βαθιά ανάλυση της φράσης «ο ένα είναι αριθμός» οδηγεί, από γλωσσική άποψη, σε μια απαράδεκτη απεραντολογία.

-Γουάιτχεντ - Ράσελ

Η μυστηριώδης συνάρτηση ζ(σ)

Το παράθεμα που προηγείται θέλει να πει πως, αν κάτι κάνει τα μαθηματικά αληθινά «δύσκολα» αυτό δεν είναι η πολυπλοκότητά τους, αλλά, ακριβώς αντίθετα, η εξαιρετική τους απλότητα. Πραγματικά, τι απλούστερο από το γεγονός (!) πως «ο ένα είναι αριθμός»; Κι όμως δεν μπορούμε να φανταστούμε πόσο δύσκολα ορίζεται η έννοια του αριθμού.

Το βιβλίο του Ντερμπισάιρ μας δίνει, με μοναδικό τρόπο, τη δυνατότητα να κατανοήσουμε αυτήν την «περιπλοκή της απλότητας» και, επιπλέον, αν έχουμε την θέληση για σοβαρή ενασχόληση, την ευκαιρία να μάθουμε σπουδαία μαθηματικά. Με κεντρικό πρωταγωνιστή τον Μπέρνχαρντ Ρίμαν (1826-1866), ο οποίος, εκτός των άλλων, αποτελεί ένα είδος γέφυρας μεταξύ δύο καθοριστικών μορφών της επιστήμης: του Καρλ Φρίντριχ Γκάους και του Αλβέρτου Αϊνστάιν. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του τελευταίου θα ήταν απολύτως αδύνατο να διατυπωθεί χωρίς την εκπληκτική εργασία του Ρίμαν σχετικά με τη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία, χάρη στην οποία έγινε δυνατό να αντιληφθούμε το Σύμπαν και το χωροχρόνο, όχι ως «επίπεδες», αλλά ως «καμπύλες» πολλαπλότητες [Που σημαίνει πως αν στείλουμε μια φωτεινή ακτίνα προς την «άκρη του Σύμπαντος» είναι πολύ λογικό να περιμένουμε, αν της δοθεί ο κατάλληλος χρόνος, να επιστρέψει «πετυχαίνοντάς μας από πίσω»]. Η εργασία του Ρίμαν, με τη σειρά της έγινε δυνατή, χάρη στην «εφεύρεση» της Διαφορικής Γεωμετρίας από το δάσκαλό του Γκάους.

«Ο Γκάους καταγόταν από πολύ ταπεινή οικογένεια. Ο παππούς του ήταν ένας άκληρος χωρικός∙ ο πατέρας του αργαζόταν για το μεροκάματο, πότε ως κηπουρός και πότε ως χτίστης. Ο Γκάους φοίτησε σ' ένα φτωχό συνοικιακό σχολείο. Ένα ονομαστό περιστατικό που αφορά τη φοίτησή του εκεί έχει πολύ περισσότερες πιθανότητες να είναι πραγματικό, παρά άλλες ανάλογες ιστορίες που αναφέρονται. Μια μέρα, ο δάσκαλός του, θέλοντας να εξασφαλίσει μισή ώρα ησυχίας, ανέθεσε στα παιδιά να προσθέσουν τους πρώτους 100 αριθμούς. Σχεδόν αμέσως, ο Γκάους ακούμπησε την πλάκα του πάνω στην έδρα, λέγοντας «Ligget se!», που στην τοπική διάλεκτο [του Μπράουνσβαϊγκ] της εποχής σήμαινε «ορίστε!». Ο Γκάους είχε από μνήμης αραδιάσει οριζοντίως τους αριθμούς (1,2,3, ..., 100) και από κάτω, με την αντίστροφη σειρά (100, 99,98, ..., 1) και στη συνέχεια είχε προσθέσει τις δύο σειρές κατακόρυφα (101,101,101, ..., 101). Εμφανίστηκε έτσι 100 φορές το 101, και αφού όλοι οι αριθμοί είχαν γραφτεί από δύο φορές, η ζητούμενη λύση ήταν το μισό του αθροίσματος: 50 φορές το 101, δηλαδή 5050. Είναι εύκολο όταν το ξέρεις, δεν είναι όμως μια μέθοδος που θα μπορούσε μόνος του να επινοήσει ο μέσος δεκάχρονος μαθητής∙ θα έλεγα, μάλιστα, ούτε καν ο μέσος τριαντάχρονος» (σελ. 76).

Ο Γκάους αναγνωρίζεται από πάρα πολλούς ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, με τεράστιο έργο σε έναν ασύλληπτο αριθμό διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών, αλλά και της μαθηματικής φυσικής[1]. Το οποίο, μάλιστα, έργο είναι ακόμη μεγαλύτερο από αυτό που ξέρουμε στο μέτρο που δημοσίευε πολύ λιγότερα απ' όσα έγραφε και παρουσίαζε πολύ λιγότερα από όσα ανακάλυπτε. Ο λόγος; Όπως σημειώνει ο Ντερμπισάιρ, «[α]υτή η φαινομενική του αμέλεια οφειλόταν, πιθανότατα, σε δύο αιτίες. Η μία είναι η παντελής έλλειψη φιλοδοξιών. Ο Γκάους, ένας ήρεμος, αυτάρκης και λιτός άνθρωπος, ο οποίος μεγάλωσε χωρίς υλικά αγαθά και που μάλλον ποτέ δεν αναζήτησε, δεν αισθανόταν την ανάγκη της επιβράβευσης από οποιονδήποτε, ούτε επιζητούσε κοινωνική άνοδο» (σελ. 81).

Ο Ρίμαν, ως προς την ταπεινότητα, ήταν φτιαγμένος με τα ίδια υλικά, όπως και ο δάσκαλός του -όπως, επίσης, και ο Αϊνστάιν. Αν αυτό συνδέεται και με το είδος των μαθηματικών προβλημάτων που τον απασχολούσαν είναι δύσκολο να διερευνηθεί.

Το σίγουρο, πάντως, είναι πως σε μια, ακόμη, από τις μεγάλες του συνεισφορές, την Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, που προκύπτει από τη μίξη της Θεωρίας Αριθμών με τον Απειροστικό Λογισμό, ακολούθησε τις ενδείξεις του Γκάους.

Η παρουσίαση αυτού του επεισοδίου έγινε στο Βερολίνο τον Αύγουστο του 1859. Ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν γίνεται αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας - εξαιρετική τιμή για έναν τόσο νέο και άσημο μαθηματικό, μόλις 32 ετών. Έχει υποβάλλει μια εργασία, που έμελλε να γίνει διάσημη. Σε αυτήν ασχολήθηκε με το -φλέγον στην εποχή του- πρόβλημα σχετικά με το «πόσοι Πρώτοι Αριθμοί υπάρχουν μικρότεροι από ένα δεδομένο αριθμό». Και ισχυρίστηκε πως είχε αποδείξει μια πρόταση -τη μετέπειτα γνωστή ως Υπόθεση Ρίμαν- βάσει της οποίας το προηγούμενο πρόβλημα όχι μόνον είχε απαντηθεί, αλλά προέκυπτε και ο γενικός τύπος παραγωγής Πρώτων Αριθμών. Ας τα πάρουμε, όμως, με τη σειρά.

* * *

Προφανώς, θεωρούμε πως οι απλούστεροι των αριθμών δεν μπορεί παρά να είναι οι θετικοί ακέραιοι. Πράγματι, αυτοί είναι οι αριθμοί που όλοι οι άνθρωποι χρησιμοποιούν στη ζωή τους καθημερινά. Πώς θα μπορούσαν να συγκριθούν ως προς τη δυσκολία χρήσης τους με τα κλάσματα, τους δεκαδικούς, τους άρρητους με τα άπειρα και μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία; Ή, ακόμη περισσότερο, τους υπερβατικούς ή τους μιγαδικούς;

Κι όμως, αυτοί οι απλούστατοι θετικοί ακέραιοι εμπλέκονται σε κάποια από τα δυσκολότερα ερωτήματα των μαθηματικών, πράγμα που εξηγεί και το γεγονός πως ένας ολόκληρος κλάδος, η Θεωρία Αριθμών, ασχολείται αποκλειστικά μαζί τους. Προνομιακή, επιπλέον θέση, στην Θεωρία Αριθμών κατέχουν οι Πρώτοι Αριθμοί. Πρώτοι Αριθμοί είναι όσοι διαιρούνται αποκλειστικά και μόνο από τη μονάδα και τον εαυτό τους. Έτσι, ο αριθμός 8 δεν είναι πρώτος μια και, εκτός του 1 και του 8, διαιρέτες του είναι και οι αριθμοί 2 και 4. Αντίθετα, ο 7 είναι πρώτος στο μέτρο που διαιρείται μόνο από το 1 και το 7. Όπως επίσης, π.χ. ο 11. Ή ο 89. Ή ο 113... Και, όπως εύκολα αποδεικνύεται, άπειροι ακόμη τέτοιοι. Ο Ρίμαν, λοιπόν, στην περίφημη εργασία του υποστήριξε πως είχε βρει έναν τρόπο υπολογισμού των Πρώτων Αριθμών, που είναι μικρότεροι από ένα δεδομένο αριθμό[2]. Και ξεκίνησε την ιστορία που αφηγείται το βιβλίο του Ντερμπισάιρ.

* * *

Το σωτήριο έτος 1900, ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, σε ένα παγκόσμιο συνέδριο μαθηματικών, που έμεινε στην ιστορία ακριβώς γι' αυτό το λόγο, παρουσίασε τα 23 σημαντικότερα προβλήματα των μαθηματικών, από την επίλυση των οποίων θα εξαρτιόταν η ίδια η πορεία της επιστήμης στο μέλλον[3]. 28 χρόνια μετά, κάνοντας έναν πρώτο απολογισμό, ταξινόμησε κατά αύξουσα σειρά δυσκολίας τα τρία «χειρότερα», ως εξής:

1.Η Υπόθεση του Ρίμαν, 2. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, 3. «Το 7ο» στην αρχική λίστα του 1900, που υποστήριζε περίπου (;) πως «αν α και β είναι αλγεβρικοί αριθμοί τότε ο αβ είναι υπερβατικός». Το 3ο από αυτά, που ταξινομούσε ως το δυσκολότερο, αποδείχτηκε λιγότερο από δέκα χρόνια μετά. Το 2ο περίμενε τον Άντριου Γουάιλς ως το 1995[4].

Η Υπόθεση του Ρίμαν είναι ακόμη εδώ αναπόδεικτη, κρατώντας το μυστήριο ενεργό.

Ήρθε η στιγμή να δοθεί η διατύπωση της: "Όλες οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με 1/2". Η συνάρτηση έχει την αναλυτική μορφή ζ(σ) = 1 + 1/2σ + 1/3σ + 1/4σ + ... Η απόδειξη αυτής της πρότασης ίσως αποτελεί το δυσκολότερο πρόβλημα των μαθηματικών. Σίγουρα, πάντως, φαίνεται να είναι πολύ μακριά από τις σημερινές μας δυνατότητες.

Ο Ρίμαν πέθανε το 1866, λίγα χρόνια μετά από τη διατύπωση της Υπόθεσής του. Η σπιτονοικοκυρά του έκαψε όλα τα προσωπικά του χαρτιά και κανείς δεν έμαθε ποτέ αν την είχε όντως αποδείξει. Στην προσπάθεια που ακολούθησε για την απόδειξή της επί 150 χρόνια, αναπτύχθηκαν καινούργιες μεγάλες περιοχές όχι μόνο των μαθηματικών, αλλά και της φυσικής. Σήμερα οι θεωρητικοί των στοιχειωδών σωματιδίων επιχειρούν να κατανοήσουν την συμπεριφορά των δομικών συστατικών του κόσμου με βάση την κατανομή των πρώτων αριθμών. Και υπάρχει η εύλογη αίσθηση πως αυτή η περιοχή έρευνας κρύβει απαντήσεις σε ποικίλα επιστημονικά ερωτήματα, που κατ' αρχήν φαίνονται απολύτως άσχετα. Φαίνεται πως ο Ρίμαν ανακάλυψε έναν εντελώς ανεκτίμητο θησαυρό. Και το βιβλίο τού Ντερμπισάιρ είναι ένας μοναδικός οδηγός, για να το αντιληφθούμε.

---------------------------------------

1. Βλ. M.B.W. Tent, Καρλ Φρίντριχ Γκάους - Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών, Τραυλός, 2006

2. Για τους οποίους ήταν γνωστό το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών, σύμφωνα με το οποίο π(Ν) ≈ Ν/logN, όπου Ν ο αριθμός τους μικρότερους Πρώτους του οποίου αναζητούμε.

3. Jeremy J. Gray, Η πρόκληση του Hilbert, Αλεξάνδρεια, 2007

4. Amir D. Aczel, Πώς ο A. Wiles έλυσε το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, Τροχαλία, 1998

Πηγή Η "Αυγή" της Κυριακής

Σύνολα - Ιστορικά Παράδοξα - Παρανοήσεις (LLS)

Κυκλοφόρησε πρόσφατα το βιβλίο των Graham & Kantor Ονοματίζοντας το Άπειρο. Πρόκειται για ένα σύνθετο ιστορικό και επιστημολογικό κείμενο, το οποίο αναλύει μια ερεθιστική συγκυρία: Στην Τσαρική Ρωσία διαμορφώνεται μια Μαθηματική Σχολή η οποία, εξαιτίας της συνάφειάς της με το θεολογικό ρεύμα της «Λατρείας του Ονόματος», αφομοιώνει και εξελίσσει πρωτοποριακά την Θεωρία των Συνόλων, όπως αυτή θεμελιώθηκε από τον G. Cantor. Το κείμενο είναι απολαυστικό, καθώς αναφέρεται παράλληλα στις θεολογικές, μαθηματικές και πολιτικές διεργασίες κατά τον 20ό αιώνα στην Τσαρική και Σοβιετική Ρωσία.

Το επιστημολογικό επίδικο του βιβλίου, το οποίο παραμένει περίτεχνα ανοικτό, είναι αν η αποδοχή μιας θεολογικής θέσης διευκόλυνε -σχεδόν επιτάχυνε- μια μαθηματική φιλοσοφική κατεύθυνση, εν προκειμένω, της θεωρίας συνόλων: Η «Λατρεία του Ονόματος» συμπυκνώνεται χοντρικά στην θέση ότι τα Ονόματα ταυτίζονται με  την Ουσία, επομένως η εκφώνηση αποτελεί μυστηριακή ταύτιση. Η προσευχή με την εκφώνηση του Θείου επιτελεί μια μυστική ταύτιση, η οποία ουσιαστικά ολοκληρώνει ένα λατρευτικό μυστήριο. Μια ομάδα μαθηματικών (Εγκόρωφ, Λούζιν κλπ), που συνδέεται με αυτό το θεολογικό ρεύμα, ευρίσκεται σε πλεονεκτική θέση όταν αντιμετωπίζει την καινοτομία της Συνολοθεωρίας. Καθώς η Συνολοθεωρία εισάγει μια σειρά από καινοφανείς μαθηματικές οντότητες, τύπους και οικογένειες του απείρου, οι μαθηματικοί «λάτρεις του ονόματος» δεν προβληματίζονται με αυτές τις αφαιρέσεις, καθώς για αυτούς αποτελούν «Ουσίες». Σε αντίθεση με τους σύγχρονούς τους Γάλλους ορθολογιστές, οι οποίοι δυσπιστούν απέναντι στις νέες μαθηματικές οντότητες, οι Ρώσοι αμέσως υιοθετούν τη μαθηματική κατεύθυνση και την εξελίσσουν πρωτοποριακά.

Εδώ αξίζει να σημειωθεί πως άλλοι ερευνητές των φιλοσοφικών προκειμένων της Θεωρίας Συνόλων έχουν εντοπίσει σε αυτήν θεολογικές επιρροές από την  Καββάλα. Ο A. Aczel στο Μυστήριο του ‘Αλεφ εντοπίζει στην Καββάλα τις απαρχές της συνολοθεωρίας και μια πρώτη διατύπωση του παραδόξου του Ράσελ.

Το 1988 ο A Badiou καταθέτει μια καινοφανή, σχεδόν επαναστατική αναδιατύπωση της θεωρίας συνόλων: Θεωρεί την αξιωματική  εκδοχή της ( Zermelo Fraenkel) ως θεμέλιο της οντολογίας και διατυπώνει μια «πολιτική οντολογία» με βάση τις έννοιες και τα αξιώματά της. Θεμελιακές έννοιες όπως του συνόλου, του «ανήκειν» (belonging), «συμπεριλαμβάνεσθαι» (including), του κενού συνόλου κλπ μεταφέρονται στην πολιτική φιλοσοφία και δημιουργούν ένα εκκεντρικό τυπικό σύστημα πολιτικής διαπραγμάτευσης. Το Είναι και Συμβάν δομείται ως τυπικό μαθηματικό οικοδόμημα με αξιώματα, αποδείξεις και λήμματα. Από τα θεμελιώδη της θεωρίας, ο ΑΒ προχωρεί με τυπική αυστηρότητα στα «ανώτερά» της, στο πρόβλημα του συνεχούς, όπου διατυπώνει (κυριολεκτικά αποδεικνύει) το κύριο θεώρημά του: η τυπικά στέρεα απόδειξη της ύπαρξης των «γενολογικών συνόλων», δηλαδή των συνόλων για τα οποία δεν υπάρχει τυπική γλώσσα για τον ορισμό των μελών τους, ορίζει τη δυνατότητα του «Συμβάντος». Όθεν το «Συμβάν» εννοείται ως καινοφάνεια που προκύπτει από ένα κενό της «εγκυκλοπαιδικής γνώσης», μια «μαύρη τρύπα» και όχι ως θετική σώρευση στοιχείων.

Συνοψίζοντας, το Μπαντιουικό εγχείρημα είναι: 

·      Η Πολιτική είναι οντολογία.

·      Η αξιωματική Συνολοθεωρία είναι η πιο συνεπής οντολογία.

·   Το Συμβάν τεκμαίρεται, εντός των αυστηρών δεσμεύσεων των αξιωμάτων, από την τυπική επάρκεια της απόδειξης για τη ύπαρξη των γενολογικών συνόλων (P. Cohen).

Τώρα, διαβάζοντας το Ονοματίζοντας το Άπειρο προκύπτει ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα:

·   Οι Ρώσοι Μαθηματικοί της «Λατρείας του Ονόματος» εξελίσσουν το μαθηματικό τους έργο εντός μιας «καταφατικής θεολογίας», μέσω της εκφώνησης μιας θετικής επιτέλεσης, η οποία εννοείται ως μυστηριακή ταύτιση «Ονόματος – Ουσίας».

·   Ο ΑΒ τεκμαίρει το Συμβάν μέσω μιας «αποφατικής θεολογίας». Τα γενολογικά σύνολα, δηλαδή αυτά για τα οποία δεν υπάρχει καμία τυπική γλώσσα που θα «ονοματίσει» τα στοιχεία τους, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν. Η απόδειξη του P. Cohen είναι τυπικά ορθή μέχρι σήμερα.

Στο Ονοματίζοντας το Άπειρο προσφέρεται ένα άλλο τεκμήριο. Ο A. Grothendieck, ο οποίος αποτελεί βιογραφικό (ως γόνος αναρχικών) και επιστημονικό υπόδειγμα για τον Badiou,  εξελίσσει το έργο του σε μια μαθηματική κατεύθυνση με μυστικιστικά στοιχεία ( σελίδα 202).

Η «αποφατική» οντολογία του ΑΒ προκαλεί μεγάλη αμηχανία. Οι μεν μαθηματικοί φιλόσοφοι αρνούνται να δεχθούν μια τέτοια εργαλειακή χρήση αυτών των μαθηματικών αφαιρέσεων, ενώ δεν λείπουν οι μομφές για «τσαρλατανισμό» και «άγνοια». Ταυτόχρονα, όμως, διακινείται ένας «Μπαντιουισμός», ο οποίος αποσιωπά πως το έργο του είναι κατ’ αρχάς μαθηματικό και εξ’ αιτίας αυτής τυπικής μορφής έγινε αποδεκτό  στον Αγγλοσαξονικό χώρο. Το σύνολο των εννοιών και ταξινομήσεων του ΑΒ (κομμουνισμός, εξεγέρσεις κλπ)  έχουν μαθηματικο-φιλοσοφικό υπόβαθρο και δύσκολα αποσπώνται από τα συμφραζόμενά τους [1]. Ταυτόχρονα η ερεβώδης φτώχεια, η ανυπαρξία μιας φιλελεύθερης αστικής πολικής επιστήμης, αποστρέφεται τον ΑΒ μόνο και μόνο στο άκουσμα του «κομμουνισμού», ενώ προκύπτει ένα ερεθιστικό ερώτημα: Η τυπική αρτιότητα της συνολοθεωρίας, όπως αυτή αρθρώνεται στο Being & Event δεν οδηγεί ως μονόδρομος στον «ιστορικό κομμουνισμό», αλλά στον «αποφατικό» γενολογικό κομμουνισμό, ο οποίος μπορεί να αποτιμηθεί και ως αδυνατότητα. Αντιθέτως, το Being & Event  προσφέρει  μια πολιτική εργαλειοθήκη η οποία ανοίγει νέους δρόμους.

--------------------------------------------------

[1] Είναι ενδιαφέρον πως ο G. Agamben στην εισαγωγή του Homo Sacer, κάνει μια τελείως λανθασμένη ανάγνωση των θεμελιακών εννοιών του Being & Event. Μάλιστα, θα μπορούσε κάποιος να  ισχυρισθεί ότι από αυτή την παρανόηση προκύπτει τελικά και ο ασφυκτικός προορισμός  του Homo Sacer ως επαναλαμβανόμενο υπεριστορικό μοτίβο. O Agamben συγχέει την θεμελιακή έννοια του «εκφύματος» («αναπαράσταση» χωρίς «παρουσία») με την «ανώτερη» έννοια του «Συμβάντος» (το γενολογικό σύνολο των παρουσιών ως υποκείμενο του Συμβάντος), καταδικάζοντας τον Homo Sacer σε μόνιμη καθήλωση. 

Info:

A. Badiou : Being & Event,2005 (Continuum)

L. Graham.J Kantor: Ονοματίζοντας το Άπειρο, 2013 ( Αλεξάνδρεια)

A. Aczel : Το Μυστήριο του Άλεφ, 2006 (Ενάλιος)  

Ροίδη και Λασκαράτου Εμμονές : Ορθόδοξος Μυστικισμός και Μαθηματικά στην ΕΣΣΔ

Πηγή left liberal synthesis

Αναδημοσιεύουμε τον πάντα ενδιαφέροντα LLS με τη στοιχειώδη φιλολογική επιμέλεια - Κ.

Η Μαθηματική Σχολή της Μόσχας, το άπειρο και ο Θεός

του Χρήστου Λάσκου

LOREN GRAHAM, JEAN-MISHEL KANTOR, Ονοματίζοντας το άπειρο, Μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, εκδ. Αλεξάνδρεια, σελ. 232

Υπήρχε ένα μονοπάτι που οδηγούσε μέσα από χωράφια στο Νιού Σάουθγκεϊτ, και συχνά πήγαινα εκεί μόνος για να δω τη δύση του ήλιου σκεφτόμενος την αυτοκτονία. Ωστόσο δεν αυτοκτόνησα, επειδή ήθελα να μάθω περισσότερα πράγματα για τα μαθηματικά.  

Μπέρτραντ Ράσελ

Ο χειρισμός της έννοιας του απείρου υπήρξε, εξ αρχής, από τα σημαντικότερα προβλήματα τόσο στην οντολογία, όσο και στα μαθηματικά. Στο πλαίσιο της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας η διαμάχη σχετικά με το δυνάμει και το ενεργεία άπειρο κρίθηκε γρήγορα υπέρ του πρώτου. Έτσι, ενώ ήταν δεδομένο πως «οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ» -όσο και να τους μετράς πάντοτε υπάρχει επόμενος- η ιδέα ενός «συντελεσμένου» απείρου, ενός π.χ. σύμπαντος με ενεργώς άπειρες διαστάσεις, δεν γινόταν αποδεκτή από τους περισσότερους αρχαίους φιλοσόφους, με προεξάρχοντα τον Αριστοτέλη. Ο κυριότερος λόγος γι’ αυτό, πέρα από τις τεράστιες δυσκολίες εποπτείας, από το γεγονός, δηλαδή, ότι «δεν το χωράει το μυαλό μας», ήταν πως η ιδέα του ενεργεία απείρου οδηγούσε σε μια σειρά από παράδοξα και αντινομίες, μεταξύ των οποίων αυτά του Ζήνωνα είναι τα γνωστότερα. Η αδυναμία να αναιρεθεί η «απόδειξη» πως ο Αχιλλέας –ή ο λαγός, στην πιο γνωστή, από το παραμύθι, εκδοχή- δεν θα προσπερνούσε ποτέ τη χελώνα, αν την άφηνε να προηγηθεί στον αγώνα δρόμου, στοίχειωνε τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία έκτοτε και για δυό χιλιάδες χρόνια.

Το άπειρον, λοιπόν, στην πραγματικότητα σήμαινε για πολύ καιρό αυτό που υπήρξε η πρώτη του έννοια, όπως ορίστηκε από τον Αναξίμανδρο, στο πρώτο ιστορικά κείμενο της ελληνικής φιλοσοφικής παράδοσης. Σήμαινε την πρώτη ουσία, αυτήν από την οποία όλες οι άλλες προέκυψαν. Σήμαινε «μια ουσία χωρίς όρια, μορφή ή ιδιότητες», απροσδιόριστη κι αδύνατο να εκφραστεί με λόγια.  Όπως σημειώνουν οι συγγραφείς (σελ. 30), «[η] ελληνική λέξη «άπειρον» περικλείει τρεις βασικές ιδέες που διατηρήθηκαν και στους επόμενους αιώνες:

-Τον απέραντο χαρακτήρα του χώρου και του χρόνου

-Τον μη ορθολογικό, θρησκευτικό ή μυστικιστικό χαρακτήρα του ατέρμονος

-Την αδυναμία ορισμού και περιγραφής (το άφατο) του απείρου».

Και από αυτήν την άποψη, δεν είναι τυχαίο πως ένας από τους ελάχιστους κορυφαίους φιλοσόφους, που, πηγαίνοντας κόντρα στην παράδοση, αποδέχτηκε την ενεργό πραγματικότητα του απείρου υπήρξε ο Πλωτίνος. Ένας φιλόσοφος, δηλαδή, ο οποίος, στο πλαίσιο του μυστικιστικού περιβάλλοντος της «εποχής της αγωνίας», που αντιπροσώπευε η ύστερη αρχαιότητα, συνέδεσε τη «σκέψη για το άπειρο» με τη «σκέψη για το Θεό» διατυπώνοντας μια αντιστοιχία ανάμεσα στον Θεό, το Εν, και στο άφατο άπειρο. Και «[ι]ισχυρίστηκε ότι αν το Εν δεν είναι άπειρο, τότε θα έπρεπε να υπάρχει κάτι πέρα από αυτό, ιδέα που τη θεωρούσε απαράδεκτη» (σελ. 31).

***

Το Ονοματίζοντας το άπειρο αφηγείται την ιστορία της επίλυσης των πολλών προβλημάτων, γρίφων, παραδόξων και «ασυναρτησιών», που συνδέονται με την έννοια του απείρου επικεντρώνοντας την προσοχή του και αφιερώνοντας τις περισσότερες σελίδες του στη Μαθηματική Σχολή της Μόσχας, η οποία ιδρύθηκε από τους Ντμίτρι Εγκόροφ, Νικολάι Λούζιν και Πάβελ Φλορένσκι. Η Σχολή της Μόσχας, πατώντας πάνω στη σπουδαία εργασία σχετικά με την Θεωρία Συνόλων και την Θεωρία των Υπερπεπερασμένων Αριθμών, που πραγματοποίησε ο Γκέοργκ Κάντορ [1], στις τελευταίες δεκαετίες του 19ου  αιώνα, παρουσίασε την πιο ολοκληρωμένη επεξεργασία της μαθηματικής Θεωρίας του Απείρου. Οι Εγκόροφ, Λούζιν και Φλορένσκι ξεκίνησαν τη μαθηματική δραστηριότητά τους προεπαναστατικά, η μεγάλη, όμως, ακμή της Σχολής αφορά τις δύο πρώτες δεκαετίες μετά την Ρωσική Επανάσταση. Από την άλλη, ενώ στην αρχή του αιώνα τους εκδήλωσαν ριζοσπαστικές  πολιτικές στάσεις, στη συνέχεια και οι τρεις συνδέθηκαν με μια θρησκευτική αίρεση, που τάραξε τα νερά στις αρχές του 20ου αιώνα, δημιουργώντας σημαντικά προβλήματα στη Ρωσική Εκκλησία.

Η Λατρεία του Ονόματος προκάλεσε τότε μεγάλα πάθη, ακόμη και την επέμβαση του τσαρικού στρατού, το 1913, στη Μονή του Αγίου Παντελεήμονος του Αγίου Όρους. Η κεντρική ιδέα ήταν πως υπήρχε η δυνατότητα για τον πιστό να έρθει σε άμεση επαφή με τον Θεό επικαλούμενος, μέσω της ειδικής προσευχής του Ιησού Χριστού, το όνομά του. Ονομάζοντας τον Θεό, με την κατάλληλη μέθοδο, μπορούμε και τον «ακουμπάμε». Μέσω της προσευχής φτάνει ο πιστός στην ταύτιση με τον Θεό, στο μέτρο που «ο νους αρχίζει να συντονίζεται με τις λέξεις και ανιχνεύει μέσα σε αυτές την παρουσία του Θεού». Είναι προφανής, μέσα σε αυτά, ο απόηχος τόσο των μυστικιστικών ασκητικών ρευμάτων του 4ου μεταχριστιανικού αιώνα όσο και του υστεροβυζαντινού ησυχασμού. Η ιδιαιτερότητα της ρωσικής αίρεσης συνίσταται στον κεντρικό ρόλο που αποδίδει, προκειμένου για την ταύτιση με τον Θεό, στον ονοματισμό, στη χρήση του ονόματός Του. Με άλλα λόγια, η ιδαιτερότητα της ονοματολατρικής αίρεσης βρίσκεται στο σύνθημα «Το όνομα του θεού είναι ο Θεός».

***

Η βασική θέση των συγγραφέων του Ονοματίζοντας το άπειρο είναι πως η ένθερμη ένταξη των Εγκόροφ, Λούζιν και Φλορένσκι στη συγκεκριμένη θρησκευτική τάση υπήρξε καθοριστική τόσο για την επιλογή της περιοχής των μαθηματικών, στην οποία θα αφιέρωναν την έρευνά τους, όσο και στη γονιμότητα αυτής τους της επιλογής. Ο λόγος γι’ αυτό βρίσκεται στο γεγονός πως και το, εννοιολογικά τόσο κοντά στο Εν, άφατο άπειρο το χειρίστηκαν μέσω των κατάλληλων ονοματισμών. Με εξαιρετικά, μάλιστα, επιστημονικά αποτελέσματα. Πρώτος ο πατέρας Φλορένσκι διαπίστωσε «μια σχέση ανάμεσα στην ονομασία του «Θεού» και την ονομασία των συνόλων στη συνολοθεωρία: τόσο ο Θεός όσο και τα σύνολα αποκτούν υπόσταση μέσω της ονομασίας τους. Πράγματι, το «σύνολο όλων των συνόλων» θα μπορούσε να είναι ο ίδιος ο Θεός» (σελ. 26). Ανάλογα, ο Λούζιν, ήδη από το 1908, θα εντυπωσιάζονταν από την ανάγνωση των Εννεάδων του Πλωτίνου, όπου θα ανακάλυπτε πως «ο νους διαδραματίζει ενεργό ρόλο στη διαμόρφωση των αντικειμένων που αντιλαμβάνεται και δεν παραμένει απλός αποδέκτης μιας αισθητηριακής εμπειρίας». Βέβαια, «[σ]τη θέαση του Θεού, δεν είναι η λογική μας αυτό που βλέπει, αλλά κάτι πρότερο και ανώτερο της λογικής μας» ( σελ. 101). Αυτό το πρότερο κι ανώτερο είναι που κινητοποιείται μέσω του ονοματισμού και επιτρέπει την ταύτιση με τον Θεό. Ακριβώς ανάλογα, σύμφωνα με τους συγγραφείς, σε όλες τις περιπτώσεις, το να ονοματίζουμε κάτι ισοδυναμεί με το να δημιουργούμε μια νέα οντότητα. Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου στη συνολοθεωρία από τους ονοματολάτρες ρώσους μαθηματικούς υπήρξε καθοριστική στην επίλυση πολλών προβλημάτων.

***

Ας δούμε, όμως, έστω προς το τέλος, τι είδους είναι τα πραγματικά προβλήματα που εμφανίζονται στο πλαίσιο της μαθηματικής διερεύνησης του απείρου [2]. Ξεκινώ με ένα διάσημο «ανέκδοτο» από την απειροθεωρία.

Έστω, λοιπόν, πως υπάρχει ένα διαγαλαξιακό ξενοδοχείο κάπου στο Σύμπαν με άπειρα δωμάτια, αριθμημένα με τη σειρά των φυσικών αριθμών 1,2,…. Έστω, ακόμη, πως τα δωμάτια είναι κατειλημμένα από άπειρους πελάτες. Υπάρχει η δυνατότητα να χωρέσει κάποιος άρτι αφιχθείς δεδομένου ό,τι όλα τα δωμάτια είναι γεμάτα; Η απάντηση, παραδόξως, είναι καταφατική. Αρκεί όλοι οι τακτοποιημένοι πελάτες να μετατοπιστούν κατά έναν αριθμό, ώστε να αφήσουν το δωμάτιο υπ’ αριθμόν 1 στο νέο. Όπως καταφατική είναι η απάντηση ακόμη και στην περίπτωση που έρχονταν άπειροι νέοι πελάτες. Για την τακτοποίησή τους θα αρκούσε οι παλιοί πελάτες να μετατοπιστούν ο καθένας στο δωμάτιο με αριθμό διπλάσιο από αυτόν του αρχικού του δωματίου.

Αυτό που προκύπτει από τα προηγούμενα είναι πως ο πληθάριθμος, ο αριθμός δηλαδή των στοιχείων που περιλαμβάνονται σε ένα σύνολο, είναι ο ίδιος για το απειροσύνολο των φυσικών αριθμών, για το σύνολο των μονών (περιττών) φυσικών, το σύνολο των ζυγών (άρτιων). Και, φεύγοντας από το ανέκδοτο, αυτά είναι αποδεδειγμένα από την εποχή του Κάντορ. Είναι αποδεδειγμένο, δηλαδή, πως οι ζυγοί και οι μονοί, οι οποίοι κατ’ αρχήν φαίνεται να είναι οι μισοί των φυσικών, είναι ακριβώς όσοι και οι φυσικοί. Όπως ίδιος είναι ο αριθμός των ακεραίων. Ακόμη και ο αριθμός των ρητών, παρόλο που ανάμεσα σε δύο ακέραιους, όπως είναι «προφανές», υπάρχουν άπειροι ρητοί, δηλαδή κλασματικοί, αριθμοί.

Σημαίνει αυτό πως όλα τα «άπειρα» είναι ισοδύναμα; Η απάντηση της απειροθεωρίας είναι όχι. Γιατί έχει αποδειχθεί –και πάλι από τον Κάντορ- πως το απειροσύνολο των πραγματικών αριθμών έχει μεγαλύτερο πληθάριθμο από τα σύνολα στα οποία αναφερθήκαμε προηγούμενα –φυσικοί, περιττοί, άρτιοι, ακέραιοι, ρητοί. Άρα, το άπειρο των πραγματικών αριθμών είναι μεγαλύτερο από αυτό των ακεραίων. Και, ακόμη, υπάρχουν κι άλλα άπειρα ακόμη μεγαλύτερα. Υπάρχει, για την ακρίβεια, μια ιεραρχία απείρων, μ’ όλο που, στην διαίσθησή μας το άπειρο είναι το «απολύτως μέγιστο». Δεν είναι όλα αυτά στο όριο του μυστικισμού;

-----------------------------------------------------

[1] Εξαιρετική, τόσο ως προς την εμβρίθεια όσο και ως προς την περιεκτικότητα, παρουσίαση της εργασίας του Κάντορ έχουμε στο βιβλίο: William Dunham, Τα μεγάλα θεωρήματα των μαθηματικών, Αλεξάνδρεια, 2013, σελ. 312-360.

[2] Μια από τις καλύτερες εργασίες στα σχετικά ζητήματα, με αναλυτική παρουσίαση των μαθηματικών της Σχολής της Μόσχας, είναι το βιβλίο: Ν. Ya. Vilenkin, Αναζητώντας το άπειρο, Κάτοπτρο, 1997. 

Πηγή «Αναγνώσεις» της Αυγής

Αναλύοντας το χάος

Το πρωινό της 27ης Μαρτίου βρήκε τον Yakov Sinai, διαπρεπή καθηγητή του Πρίνστον στον τομέα της Μαθηματικής Φυσικής πλουσιότερο κατά 0.99 εκ. δολάρια, λίγο λιγότερα δηλαδή από το $1 εκ., γεγονός που προφανώς αποδίδεται στην τρέχουσα συναλλαγματική ισοτιμία της Νορβηγικής κορώνας έναντι του δολαρίου και όχι στη τσιγκουνιά της Νορβηγικής κυβέρνησης για το μη στρογγύλεμα του ποσού στο 1 εκ. Άλλωστε δεν θα υπήρχε και λόγος να το κάνει, μιας και ελέω πετρελαίου τα ταμεία της χώρας ουδέποτε σταμάτησαν να πηγαίνουν απ' το καλύτερο στο... καλυτερότερο.

Η κυβέρνηση λοιπόν, αντιλαμβανόμενη το κενό που υπήρχε σχετικά με τη βράβευση επιφανών μαθηματικών, και θέλοντας να τιμήσει τον Νορβηγό Niels Henrik Abel (1802–1829), ιδιοφυή μαθηματικό, εισηγητή της αβελιανής θεωρίας ομάδων (Abelian Groups) και μιας σειράς άλλων καινοτομιών, αποφάσισε το 2002, στα 200 χρόνια από τη γέννησή του να θεσπίσει το ομώνυμο βραβείο, συνοδευόμενο μάλιστα από γενναίο χρηματικό ποσό, αντίστοιχο αυτού των βραβείων Nobel.

Για κάποιο περίεργο λόγο ο κ. Alfred Nobel, ενώ στη διαθήκη του το 1895 φρόντισε να θεσπίσει βραβεία για εξέχοντες δημιουργούς και ερευνητές από το χώρο της κουλτούρας και των επιστημών, συγκεκριμένα από τη Φυσική, Χημεία, Ιατρική, Λογοτεχνία και Ειρήνη, εν τούτοις οι μαθηματικοί δεν θεωρήθηκαν άξιοι λόγου για να συμπεριληφθούν στους ευεργέτες της ανθρωπότητας και να επιβραβευτούν. Το ίδιο και οι οικονομολόγοι, αν και το ατόπημα αυτό κάποιοι πίεσαν να διορθωθεί αρκετά αργότερα, το 1968. Παρά το γεγονός ότι οι οικονομολόγοι απέκτησαν το status του επιστήμονα με τη βοήθεια εξελιγμένων μαθηματικών εργαλείων, εν τούτοις οι δωρητές τους οι μαθηματικοί συνέχισαν να παραμένουν εκτός νυμφώνος.

Η αβλεψία αυτή διορθώθηκε αφ' ενός με το γενναιόδωρο βραβείο Abel, όπως είδαμε παραπάνω, αφ' ετέρου με το λιγότερο γενναιόδωρο, μόλις $15000, μετάλλιο Fields, ίσως διότι απευθυνόταν μεν σε εξέχοντες μαθηματικούς, μικρότερης ηλικίας δε.

Ο Yakov Sinai, ο φετινός παραλήπτης του βραβείου Abel, σύμφωνα με την ανακοίνωση της Νορβηγικής Ακαδημίας Επιστημών επιβραβεύτηκε για την πεντηκονταετή του συνεισφορά στη μαθηματική φυσική, στην εργοδική θεωρία, στη θεωρία πιθανοτήτων και στην εξερεύνηση των δυναμικών συστημάτων. Γεννημένος το 1935 στη Μόσχα, έλαβε το διδακτορικό του το 1963 από το πανεπιστήμιο της Μόσχας κάτω από την επίβλεψη του τιτανοτεράστιου Kolmogorov, ενός από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα. Εργάστηκε ταυτόχρονα σαν καθηγητής στο ίδιο πανεπιστήμιο, και σαν ερευνητής στο περίφημο Ινστιτούτο Θεωρητικής Φυσικής Landau, της Ρωσικής Ακαδημίας Επιστημών. Αυτά, μέχρι το 1993 οπότε και μεταπήδησε στην Αμερική, στο Πρίνστον, όπως συνέβαινε τότε, την εποχή της πτώσης της Σοβιετικής Ένωσης, με τους περισσότερους επιστήμονες του ανατολικού μπλοκ που δεν είχαν δελεαστεί από τα grants που μοίραζε αφειδώς ο Soros.

Δυναμικό, είναι κάθε σύστημα το οποίο εξελίσσεται στο χρόνο βάσει ενός ορισμένου και σταθερού κανόνα. Γνωρίζοντας τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες των σωματιδίων που το αποτελούν, καθώς και τον κανόνα που μεταθέτει τα σωματίδια στο χώρο από τη μια χρονική στιγμή στην άλλη, μπορεί κανείς λύνοντας ένα σετ διαφορικών εξισώσεων να προβλέψει τη μελλοντική θέση και τις ιδιότητες του συστήματος. Οι μάντεις και οι προφήτες είχαν ανέκαθεν περίοπτη θέση στις ανθρώπινες κοινωνίες. Με τον καιρό τη θέση τους την πήραν οι επιστήμονες οι οποίοι μπορούσαν να δουν στο χρόνο τόσο μακριά, όσο η φύση των ίδιων των συστημάτων τους επέτρεπε να δουν. Κάποια συστήματα, τα ντετερμινιστικά, επιτρέπουν ακριβείς προβλέψεις, κάποια άλλα, τα χαοτικά, ανάλογα με το βαθμό της μη γραμμικής αλληλεπίδρασης των μεταβλητών τους, τις αποτρέπουν. Ένα χαοτικό σύστημα μπορεί να είναι είτε ντετερμινιστικό, είτε στοχαστικό.

Ο καιρός, για παράδειγμα, αποτελεί ντετερμινιστικό χαοτικό σύστημα, η πρόβλεψη του οποίου καθίσταται επισφαλής πέρα από ένα χρονικό ορίζοντα ολίγων ημερών. Αν και χαοτικό, περιγράφεται από καλοδιατυπωμένες εξισώσεις, χωρίς όμως ενσωματωμένη τυχαιότητα. Η αδυναμία μακροπρόθεσμης πρόβλεψης οφείλεται στην αδυναμία ακριβούς καθορισμού των αρχικών συνθηκών πίεσης και θερμοκρασίας. Μια ανεπαίσθητη διαφορά στις αρχικές τιμές μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς διαφορετικές εξελίξεις στο χρόνο, γεγονός που ουσιαστικά εξαλείφει την έννοια της πρόβλεψης.

Το πρόβλημα των τριών σωμάτων, όπως η περιγραφή της κίνησης του συστήματος Ήλιος-Γη-Σελήνη αποτελεί ένα ντετερμινιστικό χαοτικό σύστημα. Το ίδιο και η δυναμική εξέλιξη ενός πληθυσμού. Το πού θα σταθεροποιηθεί ο πληθυσμός εξαρτάται από το ρυθμό αναπαραγωγής. Πέραν μιας τιμής κάθε πρόβλεψη καθίσταται αδύνατη.

Από την άλλη, έχουμε τα στοχαστικά δυναμικά συστήματα τα οποία εξελίσσονται υπό την επίδραση θορύβου, δηλαδή τυχαίων διακυμάνσεων ενός πολύ μεγάλου αριθμού εξωτερικών μεταβλητών. Η επίδραση των τυχαίων κινήσεων των μορίων του νερού στη δυναμική εξέλιξη μιας πρωτεΐνης μπορεί να εκληφθεί σαν θόρυβος.

Η εισαγωγή της έννοιας της εντροπίας Kolmogorov-Sinai ήταν καθοριστική για τη διερεύνηση και κατάταξη των δυναμικών συστημάτων αναλόγως του βαθμού αβεβαιότητας στη μελλοντική τους εξέλιξη. Όσο μεγαλύτερη η εντροπία, τόσο μεγαλύτερη η αβεβαιότητα. Οι μελέτες και τα μαθηματικά εργαλεία που ανέπτυξε όλα αυτά τα χρόνια κάλυψαν όλο το φάσμα, από τα αρχετυπικά ως τα πραγματικά χαοτικά συστήματα, από τους τυχαίους περιπάτους, ως την τυρβώδη ροή, από τις μεταβολές φάσης ώς τη μελέτη των μπιλιάρδων για την κατανόηση της χαοτικής συμπεριφοράς των πραγματικών και ιδανικών αερίων.

Παρά την ηλικία του, ο Sinai είναι ακόμα ακμαίος και ενεργός, συνεχίζοντας να διδάσκει, να εκπαιδεύει και να εξερευνεί σε βάθος τον πολύπλοκο κόσμο που μάς περιβάλλει.

Πηγή CYNICAL

Badiou Mathematics - 5 μαθήματα (LLS)

* Αναδημοσιεύω την πολύ ενδιαφέρουσα προσπάθεια του Left Liberal Synthesis, που νομίζω έχει μείνει ημιτελής. Το κείμενο έχει υποστεί μιαν ελάχιστη φιλολογική επεξεργασία (ορθογραφικά λάθη, συντακτικές ή άλλες αβλεψίες που υπέπεσαν στην αντίληψη μου) που δεν είναι εξαντλητική. W. K.



1. Αφού δημιουργήσαμε μια μικρή βιβλιοθήκη αναφορών για τα Βadioumathematics (BMCS), τώρα θα κάνουμε το επόμενο βήμα.
Θα μετατρέψουμε όλη αυτήν την πολύπλοκη και συμβολική γνώση σε απλές γνώσεις κατανοητές ακόμη και για κάποιον που δεν έχει σχέση με μαθηματικά. Η ελπίδα είναι να καταδειχθούν αφ’ ενός η ιδιοφυής σύνθεση φιλοσοφίας πολιτικής και μαθηματικών , αλλά και να αξιοποιηθούν αυτές οι μεθοδολογίες ευρύτερα.
Αναγκαστικά οι σημειώσεις θα είναι διδακτικές , ας πούμε απλοϊκές, σαν να απευθύνεται σε κάποιον με βασικές γνώσεις αριθμητικής. Οι σπασίκλες μαθηματικών και φιλοσοφίας ας μας αδειάσουν την γωνιά γιατί σήμερα «θα παίξουμε με τα κουβαδάκια μας»

Α.- Η θεωρία των συνόλων και η αξία τους στα BMCS
Ας υποθέσουμε ότι ένα πρωί ξυπνάς και αποκτάς ξαφνικά το χόμπι του συλλέκτη. Αλλά το παρακάνεις. Βλέπεις τα πάντα ως συλλογές. Αν ένας συλλέκτης πινάκων τέχνης συλλέγει ας πούμε μόνο πίνακες ζωγραφικής, εσύ βλέπεις τα πάντα ως συλλογές
Πας στην κουζίνα και βλέπεις την συλλογή των αντικειμένων του νεροχύτη ως «συλλογή». Παράδειγμα το σύνολο των άπλυτων πιάτων είναι μια συλλογή. Το σύνολο των πλυμένων πιάτων μια άλλη συλλογή. Βλέπεις από το παράθυρο τα παρκαρισμένα αυτοκίνητα στον δρόμο και αυτά αποτελούν μια συλλογή. Αλλά και τα αυτοκίνητα που περνούν τον δρόμο την ώρα που τα χαζεύεις είναι μια άλλη συλλογή. Τέλος βλέπεις τον υπολογιστή και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή εξαρτημάτων και όχι ως μηχάνημα. Βλέπεις ακόμα τον γείτονα σου και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή κυττάρων και όχι σαν άνθρωπο. Ακόμα φαντάζεσαι μια σειρά από βιβλία που δεν έχεις γράψει και παρότι δεν υπάρχουν παρά μόνο φευγαλέα στο μυαλό σου , εσύ τα καταλαβαίνεις ως συλλογή. Ο κατάλογος είναι δαιμονικά άπειρος γιατί έχεις προσβληθεί από αυτήν την περίεργη ασθένεια να τα βλέπεις όλα ως συλλέκτης.
Ο ιδρυτής της θεωρίας των συνόλων , ο Cantor,μας απενοχοποιεί πλήρως. Ότι περνάει από το μυαλό μας και μπορεί να κατανοηθεί ως συλλογή διακεκριμένων στοιχείων αποτελεί ένα σύνολο .Αρκεί να μιλάμε για διακεκριμένα πράγματα, αντικείμενα, ανεξάρτητα πως που πότε και αν υπάρχουν, ανεξάρτητα και αν η καθημερινή συμβατική γνώση δεν τα αντιλαμβάνεται ως συλλογές.
Παράδειγμα: Οι πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των Βίκινγκ αποτελεί μια συλλογή, ένα σύνολο. Προφανώς το 1067 πχ δεν μπορεί να έχουν κινηματογραφηθεί , είναι πρακτικά αδύνατο, αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν εγώ γράψω ή φανταστώ μια τέτοια πραγματικότητα, και παρατάξω διακριτά στοιχεία (δηλαδή ονόματα, πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των Βίκινγκ) τότε έχω ένα σύνολο.
Δηλαδή μπορώ να αφήσω την φαντασία μου να οργιάσει και να βλέπω τα «Πάντα Όλα» ως σύνολα.
Το ενδιαφέρον είναι ότι ο μεν Cantor δημιούργησε μια ολόκληρη μαθηματική επιστήμη που έχει ως βάση όχι τους αριθμούς αλλά τα σύνολα, και ο ΑΒ χρησιμοποιεί αυτήν την επιστήμη για να στοχαστεί για την ζωή, την πολιτική και την κοινωνία.

Β.-Οι περίεργες ιδιότητες των συνόλων
Αφού προσβληθήκαμε από την περίεργη ασθένεια του «συλλέκτη» τότε καταλαβαίνουμε ότι αν σκεφτούμε τα «πάντα όλα» ως σύνολα, τότε τα σύνολα μόνα τους και σχετιζόμενα μεταξύ τους έχουν κάτι σχεδόν μαγικές ιδιότητες.
Ας πούμε πάω στην παιδική χαρά και βλέπω να παίζουν 10 παιδάκια. Επειδή εγώ είμαι άρρωστος επειδή έτσι μου αρέσει φτιάχνω αυθαίρετα το ένα σύνολο από τρία παιδάκια, ας πούμε του Κώστα, της Ελένης, και του Ανδρέα
Τότε το σύνολο μου αποτελείται από τρία στοιχεία : τον Κώστα , την Ελένη, τον Ανδρέα
Καθώς όμως λειτουργώ αυθαίρετα και σύμφωνα με την αρχή που περιέγραψα παραπάνω γουστάρω να σκεφτώ και τις εξής συλλογές
Την συλλογή Κώστα Ελένη,
Την συλλογή Ελένη Ανδρέα
Την συλλογή Ανδρέα Κώστα
Την συλλογή Κώστας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ελένη ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ανδρέας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Και τέλος επειδή ο Cantor με έχει απενοχοποιήσει και σκέφτομαι μια συλλογή με κανένα στοιχείο .Βέβαια αυτό το σύνολο με κανένα στοιχείο έχει μια μικρή ιστορία, αλλά για την ώρα ας το θεωρήσουμε προϊόν της «ασθένειας του συλλέκτη»
Τότε παρατηρώ ότι ενώ το αρχικό σύνολο έχει τρία στοιχεία, βλέποντας την πραγματικότητα ως σύνολα, τότε το αρχικό σύνολο περιλαμβάνει πολύ περισσότερα υποσύνολα .
Κάτι περίεργο συμβαίνει!! Ο κόσμος ,όταν τον βλέπεις ως σύνολα, έχει μια θεμελιώδη διαφορά που καθορίζεται πως βλέπεις τα στοιχεία του. Τα στοιχεία όταν τα αντιλαμβάνεσαι ως στοιχεία του συνόλου , είναι αριθμητικά μικρότερα από τα υποσύνολα που δικαιωματικά και αυθαίρετα μπορείς να δεις.
Αυτό το περίεργο φαινόμενο ο ΑΒ μας καλεί να το εμβαθύνουμε και να το καταλάβουμε. Μας λέει ότι ενώ οι αριθμοί μας δείχνουν μια διαφορά (ο αριθμός των στοιχείων είναι μικρότερος από τον αριθμό των υποσυνόλων) αυτό είναι μια επιφανειακή γνώση, γιατί αυτό που τελικά συμβαίνει δεν είναι μια απλή διαφορά αρίθμησης αλλά μια διαφορά σχέσης.
Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα, αλλά τα υποσύνολα δεν ανήκουν αλλά περιέχονται στα σύνολά.
Όσο και να φαίνεται περίεργο , αυτή η διαφορά του «ανήκω» και του «περιέχομαι» αν κατανοηθεί αποτελεί μια θεμελιακή βάση στην πολιτειολογία του ΑΒ, και δείχνει μια πολύ ευρηματική πολιτική ανάλυση.
Για την διαφορά όμως «ανήκω» και «περιέχομαι» θα τα πούμε την άλλη φορά.


2. Η θεμελιώδης διάκριση του "ανήκω" και "εμπεριέχομαι"

Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα πως είναι δυνατόν να αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο ως «συλλογές». Αυτό αφορά τα πάντα , δηλαδή ότι μπορεί να διανοηθούμε και να σκεφτούμε και να έχουμε ως εμπειρία.
Είδαμε και το παράδειγμα της συλλογής με στοιχεία Κώστας Ελένη Ανδρέας
Είδαμε και την μαγική ιδιότητα των συλλογών να έχουν πάντα και παντού τον αριθμό των στοιχείων μικρότερο από τον αριθμό των υποσυνόλων και τέλος σημειώσαμε ότι αυτή η διαφορά έχει μια βαθύτερη σημασία. Γιατί είναι άλλη η σχέση των στοιχείων με το σύνολο και άλλη η σχέση των υποσυνόλων με το σύνολο.
Τα στοιχεία «ανήκουν» σε σύνολα τα υποσύνολα «εμπεριέχονται»
Αυτήν την διαφορά του «να ανήκεις» και «να εμπεριέχεσαι» πρέπει να δούμε καλύτερα, γιατί η κατανόηση της, μας οδηγεί σύμφωνα με τα BMCS σε μερικά ενδιαφέροντα πολιτικά αποτελέσματα. Αλλά ταυτόχρονα είναι μια θεμελιώδης διαφορά στην θεωρία των συνόλων.
Βέβαια στην γλώσσα της καθημερινότητας φαίνεται το να «ανήκω» κάπου και να «περιέχομαι» κάπου να είναι σχεδόν ταυτόσημα. Προσοχή όμως, στα BMCS έχουν θεμελιακή διαφορά, τόση όση η διαφορά πρόσθεσης αφαίρεσης , ή πολλαπλασιασμού διαίρεσης. Φαίνεται τόσο παράξενο αλλά νομίζω ότι θα το ξεκαθαρίσουμε με ένα απλό παράδειγμα.
Σήμερα το πρωί λοιπόν πάς στο σούπερ μάρκετ
Παίρνεις ένα καλάθι και το γεμίζεις με τρόφιμα. Κάθε φορά που βάζεις ένα τρόφιμο στο καλάθι το μετράς από μέσα σου, το θυμάσαι . Στο τέλος της διαδρομής έχει μια συλλογή από τρόφιμα. Το κάθε τρόφιμο ανήκει στην συλλογή αυτή.
Όταν πας στο ταμείο τότε ο ταμίας παίρνει ένα ένα τρόφιμο, ή δυο δύο, ανακατεμένα ανεξάρτητα από την σειρά που εσύ τα αγόρασες, και τα σκανάρει για να βγάλει τον λογαριασμό.
Τα τρόφιμα που είναι στοιχεία της συλλογής σου, που «ανήκουν» στην συλλογή, για τον ταμία είναι κάτι παραπάνω. Ο ταμίας διαχειρίζεται την ίδια συλλογή , την καταγράφει, την κωδικοποιεί με ένα άλλο τρόπο από ότι εσύ. Για τον ταμία, για την συγκεκριμένη δουλειά τα τρόφιμα είναι «περιεχόμενα» της συλλογής.
Δηλαδή «περιεχόμενο» γίνεται ένα στοιχείο μιας συλλογής όταν το διαχειριζόμαστε ως μονάδα, αφού βέβαια από πριν, το έχουμε καταστήσει μέλος της συλλογής.
Όταν κάτι ανήκει σε μια συλλογή έχει ήδη μετρηθεί, αλλά όταν κάτι είναι περιεχόμενο μιας συλλογής γίνεται αντικείμενο μιας επιμέτρησης, μιας διαχείρισης της αρχικής μέτρησης.
Το περίεργο είναι ότι στα μάτια του ταμία, κατά την διάρκεια του σκαναρίσματος, δημιουργείται μια συλλογή με στοιχεία που «ανήκουν», δηλαδή γίνεται «η συλλογή των τροφίμων του πελάτη τάδε που σκανάρω τώρα». Αυτό σημαίνει ότι κάθε συλλογή ανά πάσα στιγμή αποτελείται από στοιχεία και υποσύνολα, αλλά αυτό εξαρτάται από την διαδικασία που έχουμε.
Για να είναι κάπως καθαρό ας υποθέσουμε ότι το να «ανήκεις» προηγείται του να είσαι «περιεχόμενο» χρονικά.
Στην καθημερινότητα όμως κυρίως διαχειριζόμαστε, επιμετρούμε, πράγματα ως περιεχόμενα συλλογών και μόνο θεωρητικά σκεφτόμαστε για την έννοια του «ανήκω» που προηγείται. Ε οι αυστηροί μαθηματικοί της θεωρίας των συνόλων έχουν αποδεχθεί ένα αξίωμα, δηλαδή μια αναπόδεικτη αλήθεια που μας χρειάζεται για να φτιάξουμε το μαθηματικό οικοδόμημα, και το αξίωμα αυτό μας λέει: Ό, τι ευρίσκεται στην εμπειρία σου ως περιεχόμενο μιας συλλογής, αναγκαστικά «ανήκει» στην συλλογή.
Ας το δούμε με ένα άλλο παράδειγμα
Κοιτάς στο παράθυρο και βλέπεις όσα αυτοκίνητα περνάνε από μπροστά σου για πέντε λεπτά. Τότε σχηματίζεις την συλλογή «τα αυτοκίνητα που βλέπω στο διάστημα 9:55-10::00 πμ». Τα αυτοκίνητα αυτά «ανήκουν» στην συλλογή σου.
Δεν ξέρεις όμως ότι στην γωνία του σπιτιού σου υπάρχει η τροχαία που ελέγχει αυτοκίνητα ακριβώς την ίδια ώρα 9:55-10:00.
Τα ίδια αυτοκίνητα που μέτραγες υφίστανται έλεγχο από την τροχαία.
Η τροχαία ελέγχοντας τα ίδια αυτοκίνητα κάνει και αυτή μια συλλογή αυτοκινήτων, δηλαδή την συλλογή «αυτοκίνητα που ελέγχω μεταξύ 09:55-10:00». Για την τροχαία τα αυτοκίνητα «ανήκουν» στην συλλογή της, αλλά τα ίδια αυτοκίνητα πλέον είναι και «περιεχόμενα» της συλλογής σου τα οποία διαχειρίζεται και ελέγχει η τροχαία.
Με ένα μαγικό τρόπο τα ίδια αυτοκίνητα «ανήκουν» σε δύο διαφορετικές ίσες συλλογές (την δική σου και της αστυνομίας), αλλά αν σκεφτούμε την αλληλουχία, η τροχαία ελέγχει «τα περιεχόμενα» της συλλογής σου, και αν υποθέσουμε ότι κόβει κλήσεις σε όλους, τότε διαχειρίζεται και τα «περιεχόμενα» της δικής της συλλογής.
Η κατάταξη του να «ανήκεις» και να είσαι «περιεχόμενο» αλλάζει διαρκώς για τα ίδια πράγματα, αλλά το να είσαι «περιεχόμενο» προϋποθέτει ότι «ανήκεις» και όταν κάποιος διαχειρίζεται-επιμετρά στοιχεία συλλογών τότε μιλάμε για «περιεχόμενο».
Αν αυτό είναι καθαρό, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μια ευρεσιτεχνία του ΑΒ. Ο τύπος αρχίζει να σκέφτεται για την κοινωνία και την πολιτική όχι όπως ένας τυπικός φιλόσοφος, αλλά χρησιμοποιώντας το περίεργο αλλά τελικά σαφές (ελπίζω…) κριτήριο του «να ανήκω» ή του «να είμαι περιεχόμενο».
Αλλά αυτά στο επόμενο μάθημα BMCS.


3. Είδαμε λοιπόν ότι η διάκριση «ανήκω» και «εμπεριέχομαι» είναι πολύ μεγάλη αλλά ταυτόχρονα κρυμμένη συνεχώς. Στην γλώσσα της θεωρίας συνόλων το ανήκω και το περιέχομαι αναγράφονται με διαφορετικό σύμβολο. Πρέπει όμως κάθε φορά που έχουμε μια συλλογή να την βλέπουμε και ως στοιχεία που ανήκουν σε αυτή και ως υποσύνολα που περιέχονται.
Στον ΑΒ αυτή η διάκριση γενικεύεται και δημιουργεί ένα από τα θεμέλια της πολιτικής του σκέψης.
Η γενίκευση ίσως γίνεται κατανοητή με ένα απλό παράδειγμα
Έχουμε την συλλογή του προηγούμενου μαθήματος των τροφίμων του Σουπερ Μάρκετ. Τα τρόφιμα κατά την συλλογή τους είναι στοιχεία αλλά κατά την καταμέτρηση τους στο ταμείο είναι υποσύνολα. Τα τρόφιμα είναι τα ίδια, δεν αλλάζουν, εκείνο που αλλάζει είναι ο τρόπος που τα αντιμετωπίζουμε ως συλλογή. Είναι μια συλλογή με γνωστά στοιχεία που ευρίσκεται μπροστά μας, άλλη [αλλά δεν;] είναι η ίδια συλλογή όταν την επεξεργαζόμαστε. Στην πρώτη περίπτωση βλέπουμε στοιχεία που της ανήκουν, στην δεύτερη επεξεργαζόμαστε υποσύνολα που επεξεργαζόμαστε.
Τότε μπορούμε να πούμε ότι τα τρόφιμα «παρουσιάζονται» ως στοιχεία και «αναπαρίστανται» ως υποσύνολα. Η καταμέτρηση στο ταμείο είναι μια διαχείριση αυτών των στοιχείων που «παρουσιάζονται» ως συλλογή, δηλαδή «ανήκουν» σε μια συλλογή.
Σύμφωνα με τον ΑΒ το να «ανήκεις» σχετίζεται με την παρουσία, το να «εμπεριέχεσαι» σχετίζεται με την αναπαράσταση.
Η κλασσική περίπτωση όπου ο ΑΒ χρησιμοποιεί τις έννοιες αυτές είναι η ανάλυση του για το κράτος.
Για να δούμε αυτήν την ανάλυση, ας επαναλάβουμε: Τα πάντα μπορούν να ειδωθούν ως συλλογές, και όλες οι συλλογές είναι ταυτόχρονα συλλογές στοιχείων (τα οποία ανήκουν) και συλλογές υποσυνόλων (τα οποία περιέχονται).
Σύμφωνα με την γενική πεποίθηση το κράτος αναφέρεται σε άτομα και πολίτες και ρυθμίζει τις σχέσεις τους. Αν όμως σκεφτούμε τους πολίτες ως στοιχεία ενός συνόλου, τότε ξέρουμε από την θεωρία συνόλων ότι ταυτόχρονα αυτοί γίνονται πολλαπλάσια υποσύνολα, δηλαδή γίνονται περιεχόμενα που μπορούμε να διαχειριστούμε. Αν σε ένα κράτος πχ ανήκουν τρεις πολίτες, όπως είδαμε και στο παράδειγμα του πρώτου μαθήματος, τα υποσύνολα είναι πολλά περισσότερα.
Ο ΑΒ λοιπόν μας λέει ότι το κράτος λειτουργεί, διαχειρίζεται, επεξεργάζεται, αναφέρεται όχι σε στοιχεία αυτού του συνόλου, αλλά στα υποσύνολα. Όπως έχουμε πει και στο πρώτο ότι ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων. Πχ σε κράτος με τρεις πολίτες (Κώστας, Ελένη, Ανδρέας) το κράτος διαχειρίζεται τους τρεις ατομικά (Κώστας, Ελένη, Ανδρέας) αλλά και τους συνδυασμούς τους πχ (Κώστας-Ελένη, Ελένη–Ανδρέας, Κώστας–Ανδρέας, τον τριπλό συνδυασμό Κώστας-Ελένη-Ανδρέας κλπ). Το κράτος λοιπόν είναι «αναπαράσταση» και το κατανοούμε με όρους «περιεχομένου», και δεν είναι «παρουσίαση» την οποία κατανοούμε με όρους του «ανήκω». Επειδή το κράτος διαχειρίζεται υποσύνολα και όχι στοιχεία, τότε αυθαίρετα ομαδοποιεί, ταξινομεί. Αυτό που ο Μαρξ ανακάλυψε, ότι το κράτος είναι το κράτος μιας τάξης, γίνεται τώρα κατανοητό (ελπίζω) από μια μαθηματική οπτική. Οι τάξεις του Μαρξ γίνονται κατανοητές ως υποσύνολα. Κράτος σημαίνει διαχείριση υποσυνόλων, ομάδων, συσπειρώσεων, αλλά και ατόμων νοουμένων ως υποσύνολα. Κράτος δεν σημαίνει μόνο διαχείριση ατόμων ως στοιχείων.
Αν υποθέσουμε ότι αυτή η θεώρηση του ΑΒ είναι ορθή, τότε καταλαβαίνουμε ότι μπορούμε να αναλύσουμε όλα τα ζητήματα της πολιτικής και του κράτους, αφού πρώτα τα αποτυπώσουμε με τα μαθηματικά σύμβολα της θεωρίας των συνόλων.
Για να το κάνουμε το ζήτημα κάπως πιο παραστατικό και ανεκδοτολογικό, παραθέτω μια «πολιτική» εξίσωση του ΑΒ σε μαθηματική γλώσσα.
π(π(ε))→1
Στην εξίσωση το Π σημαίνει πολιτική λειτουργία, το ε σηματοδοτεί ως ένας ειδικός αριθμός (άπειρος πληθικός) την υπερβάλλουσα ισχύ του κράτους και το 1 την ισότητα. Το νόημα της εξίσωσης είναι ότι η πολιτική, για να επιτύχει μια πολιτική ισότητας, τότε αυτή πρέπει να γίνει σε δύο στάδια. Κατ’ αρχάς η πολιτική να ασκηθεί σε απόσταση από το κράτος π(ε) και αφού δημιουργηθεί αυτό το χάσμα τότε η πολιτική που περιλαμβάνει αυτό το χάσμα π(π(ε)) θα οδηγήσει στην ισότητα 1.
Προφανώς είναι αδύνατο τώρα να εξηγήσουμε σε ανάλυση το ακριβές νόημα των συμβόλων και την αντιστοιχία τους, γιατί περιλαμβάνει μερικές πιο σύνθετες έννοιες της θεωρίας συνόλων, αλλά το παράδειγμα τίθεται για να δείξει το τι τελικά επιτυγχάνεται.
Το πλεονέκτημα αυτής της μεθοδολογίας είναι ότι βασίζεται σε μια πολύ αυστηρή μαθηματική θεωρία, η οποία θεμελιώνεται σε αξιώματα, και μπορεί να αναδείξει κοινωνικά φαινόμενα με ένα μαθηματικό τρόπο ακριβή και σαφή.


4. Είδαμε στα προηγούμενα μαθήματα κατά σειρά:
Απλά στοιχεία της θεωρίας συνόλων
Το πώς βασικές έννοιες της θεωρίας αυτής αξιοποιούνται από τον ΑΒ
Και πως ο ΑΒ διατυπώνει πολιτικές θέσεις με την βοήθεια της γλώσσας των μαθηματικών.
Τώρα μπορούμε κάτι πραγματικά πρωτότυπο, κάτι που από ότι γνωρίζω δεν έχει ξαναγίνει ποτέ.
Μέχρι τώρα η φιλοσοφία διατυπώνει και διερευνά θέσεις, δημιουργεί έννοιες και διατυπώνει προβλήματα. Ο ΑΒ όμως κάνει την εξής σύνθεση.
Διατυπώνει τα φιλοσοφικά του θέματα, τα μετατρέπει σε μαθηματική γλώσσα, και διαπιστώνει ότι αυτά τα ζητήματα έχουν λυθεί ως μαθηματικά προβλήματα. Με δεδομένη την μαθηματική λύση, «επανέρχεται» στην φιλοσοφία και αναδιατυπώνει τα ζητήματα.
Ας το πούμε απλά. Ξέρουμε ότι 1+1 = 2. Αν ένας έχει ένα φιλοσοφικό ζήτημα, το οποίο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί στην ερώτηση «πόσο κάνουν ένα και ένα;», θα μπορούσαμε λοιπόν αφού έχουμε δεδομένη την λύση για το μαθηματικό πρόβλημα, να μετασχηματίσουμε το ζήτημα ανάποδα και να διατυπώσουμε την φιλοσοφική απάντηση. Η διαδικασία είναι χοντρικά η εξής:
Διατύπωση του ζητήματος, μετασχηματισμός σε μαθηματικό πρόβλημα, λύση μέσω μαθηματικών, αντίστροφος μετασχηματισμός , και αναδιατύπωση του ζητήματος.
Βέβαια δεν είναι τόσο απλό, αλλά η βασική αρχή είναι αυτή.
Ο ιδιοφυής λοιπόν ΑΒ, βρίσκει μια προέκταση της θεωρίας των συνόλων, τις μελέτες του μαθηματικού P. Cohen, και ανακαλύπτει ότι σε αυτή την μαθηματική θεωρία, ουσιαστικά είναι μετασχηματισμένος όλος ο προβληματισμός του για δύο βασικά προβλήματα που τον απασχολούν. Το ζήτημα της Αληθείας και του Συμβάντος.
Ο ΑΒ ισχυρίζεται ότι ο μαθηματικός P. Cohen, εν αγνοία του, έχει λύσει ένα θεμελιακό φιλοσοφικό πρόβλημα στο μαθηματικό επίπεδο, μέσω μιας σειράς μαθηματικών αποδείξεων.
Φαίνεται ίσως πολύ φορμαλιστικό, αλλά δεν είναι. Αυτό γίνεται γιατί τα μαθηματικά του Cohen δεν είναι τα υπολογιστικά μαθηματικά που χρησιμοποιούν στην οικονομία και τις πολιτικές επεκτάσεις της, αλλά τα μαθηματικά του Cohen είναι πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αφαίρεσης και λογικής.
Ωστόσο τα ζητήματα αυτά δεν είναι και τόσο δυσνόητα, αρκεί να παρακολουθήσουμε μερικούς απλούς ορισμούς και συλλογισμούς. Ας δούμε τώρα πως γίνεται αυτή η τοποθέτηση, ο μετασχηματισμός και η αναδιατύπωση.
Θα είναι πολύ πιο εύκολο αν προσπαθήσουμε να δούμε αρχικά τα μαθηματικά του Cohen με μερικά απλά παραδείγματα.
Ας υποθέσουμε ότι ευρίσκεσαι σε ένα θεόκλειστο δωμάτιο με διάφορα αντικείμενα. Έχεις πληροφορίες μόνο για τα αντικείμενα στο εσωτερικό του δωματίου, τα οποία είναι αμέτρητα. Το πρόβλημα τίθεται κατά πόσο μπορείς να καταλάβεις ποια αντικείμενα ευρίσκονται εκτός δωματίου μόνο με την γνώση που έχεις για τα άπειρα αντικείμενα του δωματίου. Και προσπαθείς να καταλάβεις τι αντικείμενο υπάρχει εκτός. Προφανώς δεν μπορείς να το μάθεις ποτέ. Υπάρχει όμως ένα ζήτημα. Με ποιο τρόπο μπορώ να διατυπώσω τις ερωτήσεις μου, έτσι ώστε τουλάχιστον η αναζήτηση μου να έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να απαντηθεί. Τα μαθηματικά του Cohen ουσιαστικά περιορίζουν και συστηματοποιούν τις δυνατές ερωτήσεις που τίθενται στο λογικό αυτό πρόβλημα.
Ξαναπάμε στο παράδειγμα. Είναι στο δωμάτιο άπειρα αμέτρητα αντικείμενα, μεταξύ των οποίων μια καρέκλα και ένα τραπέζι, και μου ζητάνε να διατυπώσω ερωτήσεις για το ποια αντικείμενα είναι έξω από το δωμάτιο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.
Ο οποιοσδήποτε λογικός άνθρωπος θα άρχιζε να φαντάζεται και να ρωτάει
-Υπάρχει μια καρέκλα;
-Υπάρχει ένα τραπέζι;
Ο κατάλογος αυτός όμως είναι αμέτρητος, και θα αρχίζεις να ρωτάς άπειρες φορές αναμένοντας μια απάντηση ναι όχι.
Τι γίνεται όμως με αντικείμενα που δεν γνωρίζω; Πως θα ρωτήσω;
Χμ, δύσκολο.
Μπορεί να κάνω όμως μια πονηρή ερώτηση ως εξής:
Υπάρχει έξω ένα αντικείμενο που δεν γνωρίζω, για το οποίο υπάρχει μια ασφαλής μέθοδος να μου απαντήσετε ναι ή όχι;
Η ερώτηση είναι πολύ πονηρή, γιατί δεν ζητάω το αντικείμενο απ’ ευθείας, αλλά μετατρέπω την ερώτηση για ένα αντικείμενο σε ερώτηση για μια συνθήκη ύπαρξης του αντικειμένου.
Για να μη χάσουμε τον λογαριασμό, είπαμε ότι το ζήτημα μας είναι να κριθούμε για το κατά πόσο κάνουμε ερωτήσεις που θα μας δώσουν την καλύτερη προσέγγιση για κάτι που δεν μπορούμε να ξέρουμε.
Δες τώρα τι κάνει η πονηρή ερώτηση: Μεταθέτει το ζήτημα του άγνωστου αντικειμένου σε μια ερώτηση για μια προϋπόθεση, μια συνθήκη του αντικειμένου, η οποία μπορεί να απαντηθεί και να γίνει κατανοητή με βάση όσα ξέρω από τον εγκλεισμό μου στο δωμάτιο. Με απλά λόγια εκβιάζουμε την απάντηση, μέσω μιας συνθήκης. Αυτό είναι το περίφημο forcing (εκβιασμός, παραβίαση) που δημιούργησε ο Cohen και υιοθέτησε ο ΑΒ.
Αν κοιτάξουμε προσεκτικά, οι ερωτήσεις μέσω εκβιασμού είναι πολύ πιο αποτελεσματικές από τις αρχικές, και σαφώς κερδίζουν στο μικρό κουίζ.
Εδώ όμως αρχίζει το τρομερό ενδιαφέρον.
Τα μαθηματικά του Cohen με τα άγνωστα αντικείμενα, τις περίεργες διατυπώσεις, και τους εκβιασμούς μας λένε τελικά πως αυτό που είναι τελείως άγνωστο, δεν είναι ασυνάρτητα άγνωστο, δεν είναι τελείως μη προσπελάσιμο. Επίσης μας λένε ότι υπάρχουν αποδεδειγμένα τρόποι που μπορούμε να έρθουμε σε επαφή με αυτό το άγνωστο.
Αυτά τα παιδικά κουιζ που κάναμε, αντιστοιχούν σε εκατοντάδες σελίδες μαθηματικές αποδείξεις, και δεν είναι τόσο απλοϊκά. Αλλά σύμφωνα με τον ΑΒ γεφυρώνουν ένα τεράστιο χάσμα μεταξύ σκέψης και γνώσης.
Ας ξαναθυμηθούμε ότι με ένα απλό κουίζ καταλάβαμε πως το εκάστοτε άγνωστο δεν είναι στατικά άγνωστο, αλλά μέσω ενός «εκβιασμού» μπορεί να γίνει λιγότερο άγνωστο. Επίσης όλα αυτά γίνονται αποδεικτέα μέσω των αυστηρών μαθηματικών του Cohen.
O AB ως πολιτικός φιλόσοφος κάνει την εξής αναλογία. Αν με τα μαθηματικά αποδεικνύω ότι τελικά υπάρχει πάντα μια λογική σύνδεση γνωστού και αγνώστου, τότε η θεωρία για τα μεγάλα αναπάντεχα κοσμοϊστορικά συμβάντα μπορεί να τοποθετηθεί αλλιώς. Κάθε πραγματικά αναπάντεχο, άγνωστο, απρόβλεπτο, μη κατανοητό Συμβάν έχει μια βαθύτερη σχέση με την πραγματικότητα που το γέννησε, αλλά προσοχή, αυτή η σχέση δεν είναι μηχανική αιτίου αιτιατού.
Ας ξαναγυρίσουμε στο παράδειγμα μας.
Αν οι απλοϊκές πρώτες (υπάρχει τραπέζι, υπάρχει καρέκλα) ερωτήσεις ήταν ικανές να λύσουν το κουίζ, τότε η σχέση του αναπάντεχου Συμβάντος με την πραγματικότητα θα ήταν καθαρή, απλή, γραμμική. Το Συμβάν θα ήταν στατιστικά, μηχανικά προβλέψιμο.
Όμως είδαμε ότι η λογική σχέση γνωστού και αγνώστου θεμελιώνεται μαθηματικά από μια «πονηρή ερώτηση», ένα συλλογισμό που μεταθέτει το ερώτημα «υπάρχει δεν υπάρχει», σε ένα ερώτημα «επαληθεύεται ή όχι μια συνθήκη». Έτσι και το αναπάντεχο συμβάν είναι πάντα αναπάντεχο, άγνωστο, απροσπέλαστο, αλλά διατηρεί αυστηρά λογικές και δομημένες σχέσεις με την προ συμβάντος πραγματικότητα, που μπορούν να περιγραφούν με τα μαθηματικά του P. Cohen.
Βλέπουμε λοιπόν πως το Συμβάν στον ΑΒ δεν είναι ένα θαύμα, αλλά δεν είναι και ένα φυσικό φαινόμενο. Είναι μυστηριώδες αλλά και λογικά προσπελάσιμο.
Για τον Cohen όμως θα τα ξαναπούμε σε άλλο μάθημα.

5. Μια από τις έννοιες κλειδί στα Badiou Mathematics είναι η έννοια του generic. Ο όρος δημιουργεί μερικά μεταφραστικά προβλήματα, καθώς από τους προερχόμενους από τις ανθρωπιστικές επιστήμες μεταφράζεται ως «γενολογικός», ενώ από τους μαθηματικούς ως «γένιος». Ο ίδιος όρος χρησιμοποιείται από την φαρμακολογία, όπου έχει αποδοθεί με τον νεολογισμό «γενόσημο». Στην φαρμακολογία λοιπόν, αφορά τα φάρμακα που παράγονται με μόνο χαρακτηριστικό την ενεργό ουσία τους, χωρίς αναφορά σε ιδιοκτησιακά δικαιώματα της πατέντας του φαρμάκου.
Σε όλες τις περιπτώσεις το generic είναι ένα επίθετο που προσδιορίζει κάτι και την σχέση του με το «γένος» του, η οποία, όμως, είναι η απλούστερη δυνατή, ίσα ίσα για να διατηρηθεί αυτή η σχέση γένους. Το φάρμακο είναι το πιο απλό παράδειγμα.
Ένα generic φάρμακο έχει μόνο τα χαρακτηριστικά που απαιτούνται για να είναι δραστικό, και αυτό προφανώς είναι η δραστική ουσία του. Αν η ασπιρίνη έχει ως δραστικό χαρακτηριστικό το ακετυλοσαλυκιλικό οξύ, τότε όποιο παυσίπονο έχει μόνο αυτήν την ουσία, χωρίς άλλες αναφορές στην εμπορική ονομασία, το πακέτο, τα πνευματικά δικαιώματα κλπ της ασπιρίνης, τότε αυτό είναι generic.
Είδαμε σε προηγούμενο μάθημα πώς τα μαθηματικά του Cohen και η έννοια του forcing (εκβιασμός, παραβίαση) γίνονται κατανοητά μέσω του παραδείγματος του κλειστού δωματίου, και ποια είναι η συμβολή αυτού του μαθηματικού προβληματισμού στην θεωρία του ΑΒ.
Τα ίδια τα μαθηματικά του στηρίζονται στην έννοια του generic.
Το generic όμως ορίζεται με ένα διαφορετικό και πιο αυστηρό τρόπο από ότι με τα φάρμακα.
Έχοντας δει τα βασικά μαθήματα για τα σύνολα, τότε τα βήματα του Cohen είναι σχετικά απλά και κατανοητά.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία.Ταυτόχρονα έχουμε την δυνατότητα να δημιουργούμε υποσύνολα αυτού του συνόλου με βάση ένα απλό διατυπωμένο κριτήριο.
Ας πάρουμε το αρχικό παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου που όμως περιέχει τα γνωστά σε εμάς στοιχεία Κώστας, Ελένη, Ανδρέας. Τότε ας υποθέσουμε ότι έχουμε το κριτήριο ποια στοιχεία του συνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα. Τότε με βάση το κριτήριο αυτό το υποσύνολο αυτό είναι προσδιορίσιμο.
Το πείραμα είναι απλό.
Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε υποσύνολα, με βάση ένα απλό κριτήριο, το οποίο είναι σαφές γλωσσικά και απαντάται με ένα ναι όχι.
Στο παράδειγμα μας:
Κριτήριο: Τα μέρη του υποσυνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα, ναι ή όχι;
Απάντηση: Ναι, το υποσύνολο (Κώστας, Ελένη, Αντρέας), του οποίου τα μελη έχουν ελληνικά ονόματα.
Αν πάρουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία τότε μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτά μπορούν να προέρχονται από μια επιλογή μέσω ενός τέτοιου κριτηρίου. Δημιουργούμε άπειρα υποσύνολα με ένα τρόπο επιλογής.
Έρχεται τώρα ο mr. Cohen και αναρωτιέται.
-Υπάρχει περίπτωση να υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία δεν μπορεί να έχει προυπάρξει κανένα γλωσσικό κριτήριο προεπιλογής; Με άλλα λόγια,
-Υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία η γλώσσα δεν μπορεί να διατυπώσει ένα νόμο, ένα τρόπο «συλλογής» των στοιχείων τους;
Τότε, βασιζόμενος σε αυστηρά μαθηματικά και σεβόμενος όλους τους κανόνες της λογικής, μας αποκαλύπτει πως ναι, τέτοια υποσύνολα υπάρχουν στο μαθηματικό σύμπαν. Αυτά τα υποσύνολα ονομάζονται generic.
Αν δούμε το παράδειγμα των φαρμάκων, τα υποσύνολα αυτά σύμφωνα με το κριτήριο του Cohen ΔΕΝ είναι generic γιατί έχουν την ελάχιστη σχέση με το αρχικό σύνολο τους, αλλά αυτή η σχέση έχει τουλάχιστον ένα γλωσσικό προσδιορισμό.
Στα μαθηματικά λοιπόν τα generics σύνολα υπάρχουν. Σύμφωνα όμως με την οντολογία του ΑΒ, ό, τι υπάρχει στα μαθηματικά υπάρχει και στην πραγματικότητα.
Το συμπέρασμα είναι ότι η γλώσσα δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσει κάτι που είναι υπαρκτό, και διέπεται από αυστηρούς νόμους λογικής. Η αδυναμία της γλώσσας δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generic υποσύνολα υπάρχουν, για αυτό είμαστε σίγουροι, η απόδειξη του Cohen είναι στέρεα, άρα έχουμε μια λογική συνεκτική απόδειξη του ότι η γλώσσα δεν μπορεί να ορίσει εκ των προτέρων όλη την πραγματικότητα.
Τα generics σύνολα του Cohen είναι μια άλλη απόδειξη, ότι η Αλήθεια και το Συμβάν του ΑΒ, που προέρχονται και αναδύονται από την απτή πραγματικότητα, δεν μπορούν να περιγραφούν εκ των προτέρων με την γλώσσα, αλλά αυτό δεν είναι παραδοξότητα, δεν είναι αδυναμία, δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generics σύνολα υπάρχουν, άρα γνωρίζουμε με τρόπο απλό, λογικό, μαθηματικό, αποδεδειγμένο, τους περιορισμούς της γλώσσας. Ταυτόχρονα μέσω των generics, όπως και με την έννοια του forcing, δηλαδή μέσω μιας μαθηματικής γλώσσας και μέσω αυστηρών ορισμών, μπορούμε να προσπελάσουμε κάτι που είναι εκτός μιας απλής μηχανιστικής ανάλυσης, να περιγράψουμε αυστηρά το αναπάντεχο, ριζικά νέο, ιστορικό Συμβάν και την Αλήθεια που αναδύεται μαζί του.