Δευτέρα, 5 Μαρτίου 2012

Badiou Mathematics - 5 μαθήματα (LLS)

* Αναδημοσιεύω την πολύ ενδιαφέρουσα προσπάθεια του Left Liberal Synthesis, που νομίζω έχει μείνει ημιτελής. Το κείμενο έχει υποστεί μιαν ελάχιστη φιλολογική επεξεργασία (ορθογραφικά λάθη, συντακτικές ή άλλες αβλεψίες που υπέπεσαν στην αντίληψη μου) που δεν είναι εξαντλητική. W. K.



1. Αφού δημιουργήσαμε μια μικρή βιβλιοθήκη αναφορών για τα Βadioumathematics (BMCS), τώρα θα κάνουμε το επόμενο βήμα.
Θα μετατρέψουμε όλη αυτήν την πολύπλοκη και συμβολική γνώση σε απλές γνώσεις κατανοητές ακόμη και για κάποιον που δεν έχει σχέση με μαθηματικά. Η ελπίδα είναι να καταδειχθούν αφ’ ενός η ιδιοφυής σύνθεση φιλοσοφίας πολιτικής και μαθηματικών , αλλά και να αξιοποιηθούν αυτές οι μεθοδολογίες ευρύτερα.
Αναγκαστικά οι σημειώσεις θα είναι διδακτικές , ας πούμε απλοϊκές, σαν να απευθύνεται σε κάποιον με βασικές γνώσεις αριθμητικής. Οι σπασίκλες μαθηματικών και φιλοσοφίας ας μας αδειάσουν την γωνιά γιατί σήμερα «θα παίξουμε με τα κουβαδάκια μας»

Α.- Η θεωρία των συνόλων και η αξία τους στα BMCS
Ας υποθέσουμε ότι ένα πρωί ξυπνάς και αποκτάς ξαφνικά το χόμπι του συλλέκτη. Αλλά το παρακάνεις. Βλέπεις τα πάντα ως συλλογές. Αν ένας συλλέκτης πινάκων τέχνης συλλέγει ας πούμε μόνο πίνακες ζωγραφικής, εσύ βλέπεις τα πάντα ως συλλογές
Πας στην κουζίνα και βλέπεις την συλλογή των αντικειμένων του νεροχύτη ως «συλλογή». Παράδειγμα το σύνολο των άπλυτων πιάτων είναι μια συλλογή. Το σύνολο των πλυμένων πιάτων μια άλλη συλλογή. Βλέπεις από το παράθυρο τα παρκαρισμένα αυτοκίνητα στον δρόμο και αυτά αποτελούν μια συλλογή. Αλλά και τα αυτοκίνητα που περνούν τον δρόμο την ώρα που τα χαζεύεις είναι μια άλλη συλλογή. Τέλος βλέπεις τον υπολογιστή και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή εξαρτημάτων και όχι ως μηχάνημα. Βλέπεις ακόμα τον γείτονα σου και τον αντιλαμβάνεσαι ως συλλογή κυττάρων και όχι σαν άνθρωπο. Ακόμα φαντάζεσαι μια σειρά από βιβλία που δεν έχεις γράψει και παρότι δεν υπάρχουν παρά μόνο φευγαλέα στο μυαλό σου , εσύ τα καταλαβαίνεις ως συλλογή. Ο κατάλογος είναι δαιμονικά άπειρος γιατί έχεις προσβληθεί από αυτήν την περίεργη ασθένεια να τα βλέπεις όλα ως συλλέκτης.
Ο ιδρυτής της θεωρίας των συνόλων , ο Cantor,μας απενοχοποιεί πλήρως. Ότι περνάει από το μυαλό μας και μπορεί να κατανοηθεί ως συλλογή διακεκριμένων στοιχείων αποτελεί ένα σύνολο .Αρκεί να μιλάμε για διακεκριμένα πράγματα, αντικείμενα, ανεξάρτητα πως που πότε και αν υπάρχουν, ανεξάρτητα και αν η καθημερινή συμβατική γνώση δεν τα αντιλαμβάνεται ως συλλογές.
Παράδειγμα: Οι πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των Βίκινγκ αποτελεί μια συλλογή, ένα σύνολο. Προφανώς το 1067 πχ δεν μπορεί να έχουν κινηματογραφηθεί , είναι πρακτικά αδύνατο, αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία. Αν εγώ γράψω ή φανταστώ μια τέτοια πραγματικότητα, και παρατάξω διακριτά στοιχεία (δηλαδή ονόματα, πρωταγωνιστές όλων των ταινιών επιστημονικής φαντασίας, που έχουν κινηματογραφηθεί το 1067 πχ στην έρημο Σαχάρα από την ιστορική φυλή των Βίκινγκ) τότε έχω ένα σύνολο.
Δηλαδή μπορώ να αφήσω την φαντασία μου να οργιάσει και να βλέπω τα «Πάντα Όλα» ως σύνολα.
Το ενδιαφέρον είναι ότι ο μεν Cantor δημιούργησε μια ολόκληρη μαθηματική επιστήμη που έχει ως βάση όχι τους αριθμούς αλλά τα σύνολα, και ο ΑΒ χρησιμοποιεί αυτήν την επιστήμη για να στοχαστεί για την ζωή, την πολιτική και την κοινωνία.

Β.-Οι περίεργες ιδιότητες των συνόλων
Αφού προσβληθήκαμε από την περίεργη ασθένεια του «συλλέκτη» τότε καταλαβαίνουμε ότι αν σκεφτούμε τα «πάντα όλα» ως σύνολα, τότε τα σύνολα μόνα τους και σχετιζόμενα μεταξύ τους έχουν κάτι σχεδόν μαγικές ιδιότητες.
Ας πούμε πάω στην παιδική χαρά και βλέπω να παίζουν 10 παιδάκια. Επειδή εγώ είμαι άρρωστος επειδή έτσι μου αρέσει φτιάχνω αυθαίρετα το ένα σύνολο από τρία παιδάκια, ας πούμε του Κώστα, της Ελένης, και του Ανδρέα
Τότε το σύνολο μου αποτελείται από τρία στοιχεία : τον Κώστα , την Ελένη, τον Ανδρέα
Καθώς όμως λειτουργώ αυθαίρετα και σύμφωνα με την αρχή που περιέγραψα παραπάνω γουστάρω να σκεφτώ και τις εξής συλλογές
Την συλλογή Κώστα Ελένη,
Την συλλογή Ελένη Ανδρέα
Την συλλογή Ανδρέα Κώστα
Την συλλογή Κώστας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ελένη ( με ένα μόνο στοιχείο)
Την συλλογή Ανδρέας ( με ένα μόνο στοιχείο)
Και τέλος επειδή ο Cantor με έχει απενοχοποιήσει και σκέφτομαι μια συλλογή με κανένα στοιχείο .Βέβαια αυτό το σύνολο με κανένα στοιχείο έχει μια μικρή ιστορία, αλλά για την ώρα ας το θεωρήσουμε προϊόν της «ασθένειας του συλλέκτη»
Τότε παρατηρώ ότι ενώ το αρχικό σύνολο έχει τρία στοιχεία, βλέποντας την πραγματικότητα ως σύνολα, τότε το αρχικό σύνολο περιλαμβάνει πολύ περισσότερα υποσύνολα .
Κάτι περίεργο συμβαίνει!! Ο κόσμος ,όταν τον βλέπεις ως σύνολα, έχει μια θεμελιώδη διαφορά που καθορίζεται πως βλέπεις τα στοιχεία του. Τα στοιχεία όταν τα αντιλαμβάνεσαι ως στοιχεία του συνόλου , είναι αριθμητικά μικρότερα από τα υποσύνολα που δικαιωματικά και αυθαίρετα μπορείς να δεις.
Αυτό το περίεργο φαινόμενο ο ΑΒ μας καλεί να το εμβαθύνουμε και να το καταλάβουμε. Μας λέει ότι ενώ οι αριθμοί μας δείχνουν μια διαφορά (ο αριθμός των στοιχείων είναι μικρότερος από τον αριθμό των υποσυνόλων) αυτό είναι μια επιφανειακή γνώση, γιατί αυτό που τελικά συμβαίνει δεν είναι μια απλή διαφορά αρίθμησης αλλά μια διαφορά σχέσης.
Τα στοιχεία ανήκουν στα σύνολα, αλλά τα υποσύνολα δεν ανήκουν αλλά περιέχονται στα σύνολά.
Όσο και να φαίνεται περίεργο , αυτή η διαφορά του «ανήκω» και του «περιέχομαι» αν κατανοηθεί αποτελεί μια θεμελιακή βάση στην πολιτειολογία του ΑΒ, και δείχνει μια πολύ ευρηματική πολιτική ανάλυση.
Για την διαφορά όμως «ανήκω» και «περιέχομαι» θα τα πούμε την άλλη φορά.


2. Η θεμελιώδης διάκριση του "ανήκω" και "εμπεριέχομαι"

Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα πως είναι δυνατόν να αντιλαμβανόμαστε τον κόσμο ως «συλλογές». Αυτό αφορά τα πάντα , δηλαδή ότι μπορεί να διανοηθούμε και να σκεφτούμε και να έχουμε ως εμπειρία.
Είδαμε και το παράδειγμα της συλλογής με στοιχεία Κώστας Ελένη Ανδρέας
Είδαμε και την μαγική ιδιότητα των συλλογών να έχουν πάντα και παντού τον αριθμό των στοιχείων μικρότερο από τον αριθμό των υποσυνόλων και τέλος σημειώσαμε ότι αυτή η διαφορά έχει μια βαθύτερη σημασία. Γιατί είναι άλλη η σχέση των στοιχείων με το σύνολο και άλλη η σχέση των υποσυνόλων με το σύνολο.
Τα στοιχεία «ανήκουν» σε σύνολα τα υποσύνολα «εμπεριέχονται»
Αυτήν την διαφορά του «να ανήκεις» και «να εμπεριέχεσαι» πρέπει να δούμε καλύτερα, γιατί η κατανόηση της, μας οδηγεί σύμφωνα με τα BMCS σε μερικά ενδιαφέροντα πολιτικά αποτελέσματα. Αλλά ταυτόχρονα είναι μια θεμελιώδης διαφορά στην θεωρία των συνόλων.
Βέβαια στην γλώσσα της καθημερινότητας φαίνεται το να «ανήκω» κάπου και να «περιέχομαι» κάπου να είναι σχεδόν ταυτόσημα. Προσοχή όμως, στα BMCS έχουν θεμελιακή διαφορά, τόση όση η διαφορά πρόσθεσης αφαίρεσης , ή πολλαπλασιασμού διαίρεσης. Φαίνεται τόσο παράξενο αλλά νομίζω ότι θα το ξεκαθαρίσουμε με ένα απλό παράδειγμα.
Σήμερα το πρωί λοιπόν πάς στο σούπερ μάρκετ
Παίρνεις ένα καλάθι και το γεμίζεις με τρόφιμα. Κάθε φορά που βάζεις ένα τρόφιμο στο καλάθι το μετράς από μέσα σου, το θυμάσαι . Στο τέλος της διαδρομής έχει μια συλλογή από τρόφιμα. Το κάθε τρόφιμο ανήκει στην συλλογή αυτή.
Όταν πας στο ταμείο τότε ο ταμίας παίρνει ένα ένα τρόφιμο, ή δυο δύο, ανακατεμένα ανεξάρτητα από την σειρά που εσύ τα αγόρασες, και τα σκανάρει για να βγάλει τον λογαριασμό.
Τα τρόφιμα που είναι στοιχεία της συλλογής σου, που «ανήκουν» στην συλλογή, για τον ταμία είναι κάτι παραπάνω. Ο ταμίας διαχειρίζεται την ίδια συλλογή , την καταγράφει, την κωδικοποιεί με ένα άλλο τρόπο από ότι εσύ. Για τον ταμία, για την συγκεκριμένη δουλειά τα τρόφιμα είναι «περιεχόμενα» της συλλογής.
Δηλαδή «περιεχόμενο» γίνεται ένα στοιχείο μιας συλλογής όταν το διαχειριζόμαστε ως μονάδα, αφού βέβαια από πριν, το έχουμε καταστήσει μέλος της συλλογής.
Όταν κάτι ανήκει σε μια συλλογή έχει ήδη μετρηθεί, αλλά όταν κάτι είναι περιεχόμενο μιας συλλογής γίνεται αντικείμενο μιας επιμέτρησης, μιας διαχείρισης της αρχικής μέτρησης.
Το περίεργο είναι ότι στα μάτια του ταμία, κατά την διάρκεια του σκαναρίσματος, δημιουργείται μια συλλογή με στοιχεία που «ανήκουν», δηλαδή γίνεται «η συλλογή των τροφίμων του πελάτη τάδε που σκανάρω τώρα». Αυτό σημαίνει ότι κάθε συλλογή ανά πάσα στιγμή αποτελείται από στοιχεία και υποσύνολα, αλλά αυτό εξαρτάται από την διαδικασία που έχουμε.
Για να είναι κάπως καθαρό ας υποθέσουμε ότι το να «ανήκεις» προηγείται του να είσαι «περιεχόμενο» χρονικά.
Στην καθημερινότητα όμως κυρίως διαχειριζόμαστε, επιμετρούμε, πράγματα ως περιεχόμενα συλλογών και μόνο θεωρητικά σκεφτόμαστε για την έννοια του «ανήκω» που προηγείται. Ε οι αυστηροί μαθηματικοί της θεωρίας των συνόλων έχουν αποδεχθεί ένα αξίωμα, δηλαδή μια αναπόδεικτη αλήθεια που μας χρειάζεται για να φτιάξουμε το μαθηματικό οικοδόμημα, και το αξίωμα αυτό μας λέει: Ό, τι ευρίσκεται στην εμπειρία σου ως περιεχόμενο μιας συλλογής, αναγκαστικά «ανήκει» στην συλλογή.
Ας το δούμε με ένα άλλο παράδειγμα
Κοιτάς στο παράθυρο και βλέπεις όσα αυτοκίνητα περνάνε από μπροστά σου για πέντε λεπτά. Τότε σχηματίζεις την συλλογή «τα αυτοκίνητα που βλέπω στο διάστημα 9:55-10::00 πμ». Τα αυτοκίνητα αυτά «ανήκουν» στην συλλογή σου.
Δεν ξέρεις όμως ότι στην γωνία του σπιτιού σου υπάρχει η τροχαία που ελέγχει αυτοκίνητα ακριβώς την ίδια ώρα 9:55-10:00.
Τα ίδια αυτοκίνητα που μέτραγες υφίστανται έλεγχο από την τροχαία.
Η τροχαία ελέγχοντας τα ίδια αυτοκίνητα κάνει και αυτή μια συλλογή αυτοκινήτων, δηλαδή την συλλογή «αυτοκίνητα που ελέγχω μεταξύ 09:55-10:00». Για την τροχαία τα αυτοκίνητα «ανήκουν» στην συλλογή της, αλλά τα ίδια αυτοκίνητα πλέον είναι και «περιεχόμενα» της συλλογής σου τα οποία διαχειρίζεται και ελέγχει η τροχαία.
Με ένα μαγικό τρόπο τα ίδια αυτοκίνητα «ανήκουν» σε δύο διαφορετικές ίσες συλλογές (την δική σου και της αστυνομίας), αλλά αν σκεφτούμε την αλληλουχία, η τροχαία ελέγχει «τα περιεχόμενα» της συλλογής σου, και αν υποθέσουμε ότι κόβει κλήσεις σε όλους, τότε διαχειρίζεται και τα «περιεχόμενα» της δικής της συλλογής.
Η κατάταξη του να «ανήκεις» και να είσαι «περιεχόμενο» αλλάζει διαρκώς για τα ίδια πράγματα, αλλά το να είσαι «περιεχόμενο» προϋποθέτει ότι «ανήκεις» και όταν κάποιος διαχειρίζεται-επιμετρά στοιχεία συλλογών τότε μιλάμε για «περιεχόμενο».
Αν αυτό είναι καθαρό, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για μια ευρεσιτεχνία του ΑΒ. Ο τύπος αρχίζει να σκέφτεται για την κοινωνία και την πολιτική όχι όπως ένας τυπικός φιλόσοφος, αλλά χρησιμοποιώντας το περίεργο αλλά τελικά σαφές (ελπίζω…) κριτήριο του «να ανήκω» ή του «να είμαι περιεχόμενο».
Αλλά αυτά στο επόμενο μάθημα BMCS.


3. Είδαμε λοιπόν ότι η διάκριση «ανήκω» και «εμπεριέχομαι» είναι πολύ μεγάλη αλλά ταυτόχρονα κρυμμένη συνεχώς. Στην γλώσσα της θεωρίας συνόλων το ανήκω και το περιέχομαι αναγράφονται με διαφορετικό σύμβολο. Πρέπει όμως κάθε φορά που έχουμε μια συλλογή να την βλέπουμε και ως στοιχεία που ανήκουν σε αυτή και ως υποσύνολα που περιέχονται.
Στον ΑΒ αυτή η διάκριση γενικεύεται και δημιουργεί ένα από τα θεμέλια της πολιτικής του σκέψης.
Η γενίκευση ίσως γίνεται κατανοητή με ένα απλό παράδειγμα
Έχουμε την συλλογή του προηγούμενου μαθήματος των τροφίμων του Σουπερ Μάρκετ. Τα τρόφιμα κατά την συλλογή τους είναι στοιχεία αλλά κατά την καταμέτρηση τους στο ταμείο είναι υποσύνολα. Τα τρόφιμα είναι τα ίδια, δεν αλλάζουν, εκείνο που αλλάζει είναι ο τρόπος που τα αντιμετωπίζουμε ως συλλογή. Είναι μια συλλογή με γνωστά στοιχεία που ευρίσκεται μπροστά μας, άλλη [αλλά δεν;] είναι η ίδια συλλογή όταν την επεξεργαζόμαστε. Στην πρώτη περίπτωση βλέπουμε στοιχεία που της ανήκουν, στην δεύτερη επεξεργαζόμαστε υποσύνολα που επεξεργαζόμαστε.
Τότε μπορούμε να πούμε ότι τα τρόφιμα «παρουσιάζονται» ως στοιχεία και «αναπαρίστανται» ως υποσύνολα. Η καταμέτρηση στο ταμείο είναι μια διαχείριση αυτών των στοιχείων που «παρουσιάζονται» ως συλλογή, δηλαδή «ανήκουν» σε μια συλλογή.
Σύμφωνα με τον ΑΒ το να «ανήκεις» σχετίζεται με την παρουσία, το να «εμπεριέχεσαι» σχετίζεται με την αναπαράσταση.
Η κλασσική περίπτωση όπου ο ΑΒ χρησιμοποιεί τις έννοιες αυτές είναι η ανάλυση του για το κράτος.
Για να δούμε αυτήν την ανάλυση, ας επαναλάβουμε: Τα πάντα μπορούν να ειδωθούν ως συλλογές, και όλες οι συλλογές είναι ταυτόχρονα συλλογές στοιχείων (τα οποία ανήκουν) και συλλογές υποσυνόλων (τα οποία περιέχονται).
Σύμφωνα με την γενική πεποίθηση το κράτος αναφέρεται σε άτομα και πολίτες και ρυθμίζει τις σχέσεις τους. Αν όμως σκεφτούμε τους πολίτες ως στοιχεία ενός συνόλου, τότε ξέρουμε από την θεωρία συνόλων ότι ταυτόχρονα αυτοί γίνονται πολλαπλάσια υποσύνολα, δηλαδή γίνονται περιεχόμενα που μπορούμε να διαχειριστούμε. Αν σε ένα κράτος πχ ανήκουν τρεις πολίτες, όπως είδαμε και στο παράδειγμα του πρώτου μαθήματος, τα υποσύνολα είναι πολλά περισσότερα.
Ο ΑΒ λοιπόν μας λέει ότι το κράτος λειτουργεί, διαχειρίζεται, επεξεργάζεται, αναφέρεται όχι σε στοιχεία αυτού του συνόλου, αλλά στα υποσύνολα. Όπως έχουμε πει και στο πρώτο ότι ο αριθμός των υποσυνόλων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των στοιχείων. Πχ σε κράτος με τρεις πολίτες (Κώστας, Ελένη, Ανδρέας) το κράτος διαχειρίζεται τους τρεις ατομικά (Κώστας, Ελένη, Ανδρέας) αλλά και τους συνδυασμούς τους πχ (Κώστας-Ελένη, Ελένη–Ανδρέας, Κώστας–Ανδρέας, τον τριπλό συνδυασμό Κώστας-Ελένη-Ανδρέας κλπ). Το κράτος λοιπόν είναι «αναπαράσταση» και το κατανοούμε με όρους «περιεχομένου», και δεν είναι «παρουσίαση» την οποία κατανοούμε με όρους του «ανήκω». Επειδή το κράτος διαχειρίζεται υποσύνολα και όχι στοιχεία, τότε αυθαίρετα ομαδοποιεί, ταξινομεί. Αυτό που ο Μαρξ ανακάλυψε, ότι το κράτος είναι το κράτος μιας τάξης, γίνεται τώρα κατανοητό (ελπίζω) από μια μαθηματική οπτική. Οι τάξεις του Μαρξ γίνονται κατανοητές ως υποσύνολα. Κράτος σημαίνει διαχείριση υποσυνόλων, ομάδων, συσπειρώσεων, αλλά και ατόμων νοουμένων ως υποσύνολα. Κράτος δεν σημαίνει μόνο διαχείριση ατόμων ως στοιχείων.
Αν υποθέσουμε ότι αυτή η θεώρηση του ΑΒ είναι ορθή, τότε καταλαβαίνουμε ότι μπορούμε να αναλύσουμε όλα τα ζητήματα της πολιτικής και του κράτους, αφού πρώτα τα αποτυπώσουμε με τα μαθηματικά σύμβολα της θεωρίας των συνόλων.
Για να το κάνουμε το ζήτημα κάπως πιο παραστατικό και ανεκδοτολογικό, παραθέτω μια «πολιτική» εξίσωση του ΑΒ σε μαθηματική γλώσσα.
π(π(ε))→1
Στην εξίσωση το Π σημαίνει πολιτική λειτουργία, το ε σηματοδοτεί ως ένας ειδικός αριθμός (άπειρος πληθικός) την υπερβάλλουσα ισχύ του κράτους και το 1 την ισότητα. Το νόημα της εξίσωσης είναι ότι η πολιτική, για να επιτύχει μια πολιτική ισότητας, τότε αυτή πρέπει να γίνει σε δύο στάδια. Κατ’ αρχάς η πολιτική να ασκηθεί σε απόσταση από το κράτος π(ε) και αφού δημιουργηθεί αυτό το χάσμα τότε η πολιτική που περιλαμβάνει αυτό το χάσμα π(π(ε)) θα οδηγήσει στην ισότητα 1.
Προφανώς είναι αδύνατο τώρα να εξηγήσουμε σε ανάλυση το ακριβές νόημα των συμβόλων και την αντιστοιχία τους, γιατί περιλαμβάνει μερικές πιο σύνθετες έννοιες της θεωρίας συνόλων, αλλά το παράδειγμα τίθεται για να δείξει το τι τελικά επιτυγχάνεται.
Το πλεονέκτημα αυτής της μεθοδολογίας είναι ότι βασίζεται σε μια πολύ αυστηρή μαθηματική θεωρία, η οποία θεμελιώνεται σε αξιώματα, και μπορεί να αναδείξει κοινωνικά φαινόμενα με ένα μαθηματικό τρόπο ακριβή και σαφή.


4. Είδαμε στα προηγούμενα μαθήματα κατά σειρά:
Απλά στοιχεία της θεωρίας συνόλων
Το πώς βασικές έννοιες της θεωρίας αυτής αξιοποιούνται από τον ΑΒ
Και πως ο ΑΒ διατυπώνει πολιτικές θέσεις με την βοήθεια της γλώσσας των μαθηματικών.
Τώρα μπορούμε κάτι πραγματικά πρωτότυπο, κάτι που από ότι γνωρίζω δεν έχει ξαναγίνει ποτέ.
Μέχρι τώρα η φιλοσοφία διατυπώνει και διερευνά θέσεις, δημιουργεί έννοιες και διατυπώνει προβλήματα. Ο ΑΒ όμως κάνει την εξής σύνθεση.
Διατυπώνει τα φιλοσοφικά του θέματα, τα μετατρέπει σε μαθηματική γλώσσα, και διαπιστώνει ότι αυτά τα ζητήματα έχουν λυθεί ως μαθηματικά προβλήματα. Με δεδομένη την μαθηματική λύση, «επανέρχεται» στην φιλοσοφία και αναδιατυπώνει τα ζητήματα.
Ας το πούμε απλά. Ξέρουμε ότι 1+1 = 2. Αν ένας έχει ένα φιλοσοφικό ζήτημα, το οποίο θα μπορούσε να μετασχηματιστεί στην ερώτηση «πόσο κάνουν ένα και ένα;», θα μπορούσαμε λοιπόν αφού έχουμε δεδομένη την λύση για το μαθηματικό πρόβλημα, να μετασχηματίσουμε το ζήτημα ανάποδα και να διατυπώσουμε την φιλοσοφική απάντηση. Η διαδικασία είναι χοντρικά η εξής:
Διατύπωση του ζητήματος, μετασχηματισμός σε μαθηματικό πρόβλημα, λύση μέσω μαθηματικών, αντίστροφος μετασχηματισμός , και αναδιατύπωση του ζητήματος.
Βέβαια δεν είναι τόσο απλό, αλλά η βασική αρχή είναι αυτή.
Ο ιδιοφυής λοιπόν ΑΒ, βρίσκει μια προέκταση της θεωρίας των συνόλων, τις μελέτες του μαθηματικού P. Cohen, και ανακαλύπτει ότι σε αυτή την μαθηματική θεωρία, ουσιαστικά είναι μετασχηματισμένος όλος ο προβληματισμός του για δύο βασικά προβλήματα που τον απασχολούν. Το ζήτημα της Αληθείας και του Συμβάντος.
Ο ΑΒ ισχυρίζεται ότι ο μαθηματικός P. Cohen, εν αγνοία του, έχει λύσει ένα θεμελιακό φιλοσοφικό πρόβλημα στο μαθηματικό επίπεδο, μέσω μιας σειράς μαθηματικών αποδείξεων.
Φαίνεται ίσως πολύ φορμαλιστικό, αλλά δεν είναι. Αυτό γίνεται γιατί τα μαθηματικά του Cohen δεν είναι τα υπολογιστικά μαθηματικά που χρησιμοποιούν στην οικονομία και τις πολιτικές επεκτάσεις της, αλλά τα μαθηματικά του Cohen είναι πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αφαίρεσης και λογικής.
Ωστόσο τα ζητήματα αυτά δεν είναι και τόσο δυσνόητα, αρκεί να παρακολουθήσουμε μερικούς απλούς ορισμούς και συλλογισμούς. Ας δούμε τώρα πως γίνεται αυτή η τοποθέτηση, ο μετασχηματισμός και η αναδιατύπωση.
Θα είναι πολύ πιο εύκολο αν προσπαθήσουμε να δούμε αρχικά τα μαθηματικά του Cohen με μερικά απλά παραδείγματα.
Ας υποθέσουμε ότι ευρίσκεσαι σε ένα θεόκλειστο δωμάτιο με διάφορα αντικείμενα. Έχεις πληροφορίες μόνο για τα αντικείμενα στο εσωτερικό του δωματίου, τα οποία είναι αμέτρητα. Το πρόβλημα τίθεται κατά πόσο μπορείς να καταλάβεις ποια αντικείμενα ευρίσκονται εκτός δωματίου μόνο με την γνώση που έχεις για τα άπειρα αντικείμενα του δωματίου. Και προσπαθείς να καταλάβεις τι αντικείμενο υπάρχει εκτός. Προφανώς δεν μπορείς να το μάθεις ποτέ. Υπάρχει όμως ένα ζήτημα. Με ποιο τρόπο μπορώ να διατυπώσω τις ερωτήσεις μου, έτσι ώστε τουλάχιστον η αναζήτηση μου να έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα να απαντηθεί. Τα μαθηματικά του Cohen ουσιαστικά περιορίζουν και συστηματοποιούν τις δυνατές ερωτήσεις που τίθενται στο λογικό αυτό πρόβλημα.
Ξαναπάμε στο παράδειγμα. Είναι στο δωμάτιο άπειρα αμέτρητα αντικείμενα, μεταξύ των οποίων μια καρέκλα και ένα τραπέζι, και μου ζητάνε να διατυπώσω ερωτήσεις για το ποια αντικείμενα είναι έξω από το δωμάτιο με τον πιο αποτελεσματικό τρόπο.
Ο οποιοσδήποτε λογικός άνθρωπος θα άρχιζε να φαντάζεται και να ρωτάει
-Υπάρχει μια καρέκλα;
-Υπάρχει ένα τραπέζι;
Ο κατάλογος αυτός όμως είναι αμέτρητος, και θα αρχίζεις να ρωτάς άπειρες φορές αναμένοντας μια απάντηση ναι όχι.
Τι γίνεται όμως με αντικείμενα που δεν γνωρίζω; Πως θα ρωτήσω;
Χμ, δύσκολο.
Μπορεί να κάνω όμως μια πονηρή ερώτηση ως εξής:
Υπάρχει έξω ένα αντικείμενο που δεν γνωρίζω, για το οποίο υπάρχει μια ασφαλής μέθοδος να μου απαντήσετε ναι ή όχι;
Η ερώτηση είναι πολύ πονηρή, γιατί δεν ζητάω το αντικείμενο απ’ ευθείας, αλλά μετατρέπω την ερώτηση για ένα αντικείμενο σε ερώτηση για μια συνθήκη ύπαρξης του αντικειμένου.
Για να μη χάσουμε τον λογαριασμό, είπαμε ότι το ζήτημα μας είναι να κριθούμε για το κατά πόσο κάνουμε ερωτήσεις που θα μας δώσουν την καλύτερη προσέγγιση για κάτι που δεν μπορούμε να ξέρουμε.
Δες τώρα τι κάνει η πονηρή ερώτηση: Μεταθέτει το ζήτημα του άγνωστου αντικειμένου σε μια ερώτηση για μια προϋπόθεση, μια συνθήκη του αντικειμένου, η οποία μπορεί να απαντηθεί και να γίνει κατανοητή με βάση όσα ξέρω από τον εγκλεισμό μου στο δωμάτιο. Με απλά λόγια εκβιάζουμε την απάντηση, μέσω μιας συνθήκης. Αυτό είναι το περίφημο forcing (εκβιασμός, παραβίαση) που δημιούργησε ο Cohen και υιοθέτησε ο ΑΒ.
Αν κοιτάξουμε προσεκτικά, οι ερωτήσεις μέσω εκβιασμού είναι πολύ πιο αποτελεσματικές από τις αρχικές, και σαφώς κερδίζουν στο μικρό κουίζ.
Εδώ όμως αρχίζει το τρομερό ενδιαφέρον.
Τα μαθηματικά του Cohen με τα άγνωστα αντικείμενα, τις περίεργες διατυπώσεις, και τους εκβιασμούς μας λένε τελικά πως αυτό που είναι τελείως άγνωστο, δεν είναι ασυνάρτητα άγνωστο, δεν είναι τελείως μη προσπελάσιμο. Επίσης μας λένε ότι υπάρχουν αποδεδειγμένα τρόποι που μπορούμε να έρθουμε σε επαφή με αυτό το άγνωστο.
Αυτά τα παιδικά κουιζ που κάναμε, αντιστοιχούν σε εκατοντάδες σελίδες μαθηματικές αποδείξεις, και δεν είναι τόσο απλοϊκά. Αλλά σύμφωνα με τον ΑΒ γεφυρώνουν ένα τεράστιο χάσμα μεταξύ σκέψης και γνώσης.
Ας ξαναθυμηθούμε ότι με ένα απλό κουίζ καταλάβαμε πως το εκάστοτε άγνωστο δεν είναι στατικά άγνωστο, αλλά μέσω ενός «εκβιασμού» μπορεί να γίνει λιγότερο άγνωστο. Επίσης όλα αυτά γίνονται αποδεικτέα μέσω των αυστηρών μαθηματικών του Cohen.
O AB ως πολιτικός φιλόσοφος κάνει την εξής αναλογία. Αν με τα μαθηματικά αποδεικνύω ότι τελικά υπάρχει πάντα μια λογική σύνδεση γνωστού και αγνώστου, τότε η θεωρία για τα μεγάλα αναπάντεχα κοσμοϊστορικά συμβάντα μπορεί να τοποθετηθεί αλλιώς. Κάθε πραγματικά αναπάντεχο, άγνωστο, απρόβλεπτο, μη κατανοητό Συμβάν έχει μια βαθύτερη σχέση με την πραγματικότητα που το γέννησε, αλλά προσοχή, αυτή η σχέση δεν είναι μηχανική αιτίου αιτιατού.
Ας ξαναγυρίσουμε στο παράδειγμα μας.
Αν οι απλοϊκές πρώτες (υπάρχει τραπέζι, υπάρχει καρέκλα) ερωτήσεις ήταν ικανές να λύσουν το κουίζ, τότε η σχέση του αναπάντεχου Συμβάντος με την πραγματικότητα θα ήταν καθαρή, απλή, γραμμική. Το Συμβάν θα ήταν στατιστικά, μηχανικά προβλέψιμο.
Όμως είδαμε ότι η λογική σχέση γνωστού και αγνώστου θεμελιώνεται μαθηματικά από μια «πονηρή ερώτηση», ένα συλλογισμό που μεταθέτει το ερώτημα «υπάρχει δεν υπάρχει», σε ένα ερώτημα «επαληθεύεται ή όχι μια συνθήκη». Έτσι και το αναπάντεχο συμβάν είναι πάντα αναπάντεχο, άγνωστο, απροσπέλαστο, αλλά διατηρεί αυστηρά λογικές και δομημένες σχέσεις με την προ συμβάντος πραγματικότητα, που μπορούν να περιγραφούν με τα μαθηματικά του P. Cohen.
Βλέπουμε λοιπόν πως το Συμβάν στον ΑΒ δεν είναι ένα θαύμα, αλλά δεν είναι και ένα φυσικό φαινόμενο. Είναι μυστηριώδες αλλά και λογικά προσπελάσιμο.
Για τον Cohen όμως θα τα ξαναπούμε σε άλλο μάθημα.

5. Μια από τις έννοιες κλειδί στα Badiou Mathematics είναι η έννοια του generic. Ο όρος δημιουργεί μερικά μεταφραστικά προβλήματα, καθώς από τους προερχόμενους από τις ανθρωπιστικές επιστήμες μεταφράζεται ως «γενολογικός», ενώ από τους μαθηματικούς ως «γένιος». Ο ίδιος όρος χρησιμοποιείται από την φαρμακολογία, όπου έχει αποδοθεί με τον νεολογισμό «γενόσημο». Στην φαρμακολογία λοιπόν, αφορά τα φάρμακα που παράγονται με μόνο χαρακτηριστικό την ενεργό ουσία τους, χωρίς αναφορά σε ιδιοκτησιακά δικαιώματα της πατέντας του φαρμάκου.
Σε όλες τις περιπτώσεις το generic είναι ένα επίθετο που προσδιορίζει κάτι και την σχέση του με το «γένος» του, η οποία, όμως, είναι η απλούστερη δυνατή, ίσα ίσα για να διατηρηθεί αυτή η σχέση γένους. Το φάρμακο είναι το πιο απλό παράδειγμα.
Ένα generic φάρμακο έχει μόνο τα χαρακτηριστικά που απαιτούνται για να είναι δραστικό, και αυτό προφανώς είναι η δραστική ουσία του. Αν η ασπιρίνη έχει ως δραστικό χαρακτηριστικό το ακετυλοσαλυκιλικό οξύ, τότε όποιο παυσίπονο έχει μόνο αυτήν την ουσία, χωρίς άλλες αναφορές στην εμπορική ονομασία, το πακέτο, τα πνευματικά δικαιώματα κλπ της ασπιρίνης, τότε αυτό είναι generic.
Είδαμε σε προηγούμενο μάθημα πώς τα μαθηματικά του Cohen και η έννοια του forcing (εκβιασμός, παραβίαση) γίνονται κατανοητά μέσω του παραδείγματος του κλειστού δωματίου, και ποια είναι η συμβολή αυτού του μαθηματικού προβληματισμού στην θεωρία του ΑΒ.
Τα ίδια τα μαθηματικά του στηρίζονται στην έννοια του generic.
Το generic όμως ορίζεται με ένα διαφορετικό και πιο αυστηρό τρόπο από ότι με τα φάρμακα.
Έχοντας δει τα βασικά μαθήματα για τα σύνολα, τότε τα βήματα του Cohen είναι σχετικά απλά και κατανοητά.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία.Ταυτόχρονα έχουμε την δυνατότητα να δημιουργούμε υποσύνολα αυτού του συνόλου με βάση ένα απλό διατυπωμένο κριτήριο.
Ας πάρουμε το αρχικό παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου που όμως περιέχει τα γνωστά σε εμάς στοιχεία Κώστας, Ελένη, Ανδρέας. Τότε ας υποθέσουμε ότι έχουμε το κριτήριο ποια στοιχεία του συνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα. Τότε με βάση το κριτήριο αυτό το υποσύνολο αυτό είναι προσδιορίσιμο.
Το πείραμα είναι απλό.
Προσπαθούμε να δημιουργήσουμε υποσύνολα, με βάση ένα απλό κριτήριο, το οποίο είναι σαφές γλωσσικά και απαντάται με ένα ναι όχι.
Στο παράδειγμα μας:
Κριτήριο: Τα μέρη του υποσυνόλου έχουν Ελληνικά Ονόματα, ναι ή όχι;
Απάντηση: Ναι, το υποσύνολο (Κώστας, Ελένη, Αντρέας), του οποίου τα μελη έχουν ελληνικά ονόματα.
Αν πάρουμε ένα σύνολο με άπειρα στοιχεία τότε μπορούμε να φανταστούμε ότι αυτά μπορούν να προέρχονται από μια επιλογή μέσω ενός τέτοιου κριτηρίου. Δημιουργούμε άπειρα υποσύνολα με ένα τρόπο επιλογής.
Έρχεται τώρα ο mr. Cohen και αναρωτιέται.
-Υπάρχει περίπτωση να υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία δεν μπορεί να έχει προυπάρξει κανένα γλωσσικό κριτήριο προεπιλογής; Με άλλα λόγια,
-Υπάρχουν υποσύνολα για τα οποία η γλώσσα δεν μπορεί να διατυπώσει ένα νόμο, ένα τρόπο «συλλογής» των στοιχείων τους;
Τότε, βασιζόμενος σε αυστηρά μαθηματικά και σεβόμενος όλους τους κανόνες της λογικής, μας αποκαλύπτει πως ναι, τέτοια υποσύνολα υπάρχουν στο μαθηματικό σύμπαν. Αυτά τα υποσύνολα ονομάζονται generic.
Αν δούμε το παράδειγμα των φαρμάκων, τα υποσύνολα αυτά σύμφωνα με το κριτήριο του Cohen ΔΕΝ είναι generic γιατί έχουν την ελάχιστη σχέση με το αρχικό σύνολο τους, αλλά αυτή η σχέση έχει τουλάχιστον ένα γλωσσικό προσδιορισμό.
Στα μαθηματικά λοιπόν τα generics σύνολα υπάρχουν. Σύμφωνα όμως με την οντολογία του ΑΒ, ό, τι υπάρχει στα μαθηματικά υπάρχει και στην πραγματικότητα.
Το συμπέρασμα είναι ότι η γλώσσα δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσει κάτι που είναι υπαρκτό, και διέπεται από αυστηρούς νόμους λογικής. Η αδυναμία της γλώσσας δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generic υποσύνολα υπάρχουν, για αυτό είμαστε σίγουροι, η απόδειξη του Cohen είναι στέρεα, άρα έχουμε μια λογική συνεκτική απόδειξη του ότι η γλώσσα δεν μπορεί να ορίσει εκ των προτέρων όλη την πραγματικότητα.
Τα generics σύνολα του Cohen είναι μια άλλη απόδειξη, ότι η Αλήθεια και το Συμβάν του ΑΒ, που προέρχονται και αναδύονται από την απτή πραγματικότητα, δεν μπορούν να περιγραφούν εκ των προτέρων με την γλώσσα, αλλά αυτό δεν είναι παραδοξότητα, δεν είναι αδυναμία, δεν είναι αγνωστικισμός. Τα generics σύνολα υπάρχουν, άρα γνωρίζουμε με τρόπο απλό, λογικό, μαθηματικό, αποδεδειγμένο, τους περιορισμούς της γλώσσας. Ταυτόχρονα μέσω των generics, όπως και με την έννοια του forcing, δηλαδή μέσω μιας μαθηματικής γλώσσας και μέσω αυστηρών ορισμών, μπορούμε να προσπελάσουμε κάτι που είναι εκτός μιας απλής μηχανιστικής ανάλυσης, να περιγράψουμε αυστηρά το αναπάντεχο, ριζικά νέο, ιστορικό Συμβάν και την Αλήθεια που αναδύεται μαζί του.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Παρουσιάστηκε σφάλμα σε αυτό το gadget