Τρίτη, 21 Απριλίου 2015

Υπόθεση Ρίμαν: Η εμμονή με τους πρώτους αριθμούς


του Χρήστου Λάσκου


JOHN DERBYSHIRE, Υπόθεση Ρίμαν: Η εμμονή με τους πρώτους αριθμούς, μετάφραση: Τεύκρος Μιχαηλίδης, εκδόσεις Τραυλός, σελ. 548

Η ίδια η αφαιρετική απλότητα των ιδεών των μαθηματικών ακυρώνει τη γλώσσα. Η γλώσσα μπορεί να εκφράσει ευκολότερα τις περίπλοκες ιδέες. Η πρόταση «μια φάλαινα είναι μεγάλη» αντιπροσωπεύει τη γλώσσα στην καλύτερη μορφή της, περιγράφει απλά ένα περίπλοκο γεγονός. Αντιθέτως, η βαθιά ανάλυση της φράσης «ο ένα είναι αριθμός» οδηγεί, από γλωσσική άποψη, σε μια απαράδεκτη απεραντολογία.
-Γουάιτχεντ - Ράσελ


Η μυστηριώδης συνάρτηση ζ(σ)

Το παράθεμα που προηγείται θέλει να πει πως, αν κάτι κάνει τα μαθηματικά αληθινά «δύσκολα» αυτό δεν είναι η πολυπλοκότητά τους, αλλά, ακριβώς αντίθετα, η εξαιρετική τους απλότητα. Πραγματικά, τι απλούστερο από το γεγονός (!) πως «ο ένα είναι αριθμός»; Κι όμως δεν μπορούμε να φανταστούμε πόσο δύσκολα ορίζεται η έννοια του αριθμού.

Το βιβλίο του Ντερμπισάιρ μας δίνει, με μοναδικό τρόπο, τη δυνατότητα να κατανοήσουμε αυτήν την «περιπλοκή της απλότητας» και, επιπλέον, αν έχουμε την θέληση για σοβαρή ενασχόληση, την ευκαιρία να μάθουμε σπουδαία μαθηματικά. Με κεντρικό πρωταγωνιστή τον Μπέρνχαρντ Ρίμαν (1826-1866), ο οποίος, εκτός των άλλων, αποτελεί ένα είδος γέφυρας μεταξύ δύο καθοριστικών μορφών της επιστήμης: του Καρλ Φρίντριχ Γκάους και του Αλβέρτου Αϊνστάιν. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του τελευταίου θα ήταν απολύτως αδύνατο να διατυπωθεί χωρίς την εκπληκτική εργασία του Ρίμαν σχετικά με τη μη-Ευκλείδεια γεωμετρία, χάρη στην οποία έγινε δυνατό να αντιληφθούμε το Σύμπαν και το χωροχρόνο, όχι ως «επίπεδες», αλλά ως «καμπύλες» πολλαπλότητες [Που σημαίνει πως αν στείλουμε μια φωτεινή ακτίνα προς την «άκρη του Σύμπαντος» είναι πολύ λογικό να περιμένουμε, αν της δοθεί ο κατάλληλος χρόνος, να επιστρέψει «πετυχαίνοντάς μας από πίσω»]. Η εργασία του Ρίμαν, με τη σειρά της έγινε δυνατή, χάρη στην «εφεύρεση» της Διαφορικής Γεωμετρίας από το δάσκαλό του Γκάους.

«Ο Γκάους καταγόταν από πολύ ταπεινή οικογένεια. Ο παππούς του ήταν ένας άκληρος χωρικός∙ ο πατέρας του αργαζόταν για το μεροκάματο, πότε ως κηπουρός και πότε ως χτίστης. Ο Γκάους φοίτησε σ' ένα φτωχό συνοικιακό σχολείο. Ένα ονομαστό περιστατικό που αφορά τη φοίτησή του εκεί έχει πολύ περισσότερες πιθανότητες να είναι πραγματικό, παρά άλλες ανάλογες ιστορίες που αναφέρονται. Μια μέρα, ο δάσκαλός του, θέλοντας να εξασφαλίσει μισή ώρα ησυχίας, ανέθεσε στα παιδιά να προσθέσουν τους πρώτους 100 αριθμούς. Σχεδόν αμέσως, ο Γκάους ακούμπησε την πλάκα του πάνω στην έδρα, λέγοντας «Ligget se!», που στην τοπική διάλεκτο [του Μπράουνσβαϊγκ] της εποχής σήμαινε «ορίστε!». Ο Γκάους είχε από μνήμης αραδιάσει οριζοντίως τους αριθμούς (1,2,3, ..., 100) και από κάτω, με την αντίστροφη σειρά (100, 99,98, ..., 1) και στη συνέχεια είχε προσθέσει τις δύο σειρές κατακόρυφα (101,101,101, ..., 101). Εμφανίστηκε έτσι 100 φορές το 101, και αφού όλοι οι αριθμοί είχαν γραφτεί από δύο φορές, η ζητούμενη λύση ήταν το μισό του αθροίσματος: 50 φορές το 101, δηλαδή 5050. Είναι εύκολο όταν το ξέρεις, δεν είναι όμως μια μέθοδος που θα μπορούσε μόνος του να επινοήσει ο μέσος δεκάχρονος μαθητής∙ θα έλεγα, μάλιστα, ούτε καν ο μέσος τριαντάχρονος» (σελ. 76).

Ο Γκάους αναγνωρίζεται από πάρα πολλούς ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός όλων των εποχών, με τεράστιο έργο σε έναν ασύλληπτο αριθμό διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών, αλλά και της μαθηματικής φυσικής[1]. Το οποίο, μάλιστα, έργο είναι ακόμη μεγαλύτερο από αυτό που ξέρουμε στο μέτρο που δημοσίευε πολύ λιγότερα απ' όσα έγραφε και παρουσίαζε πολύ λιγότερα από όσα ανακάλυπτε. Ο λόγος; Όπως σημειώνει ο Ντερμπισάιρ, «[α]υτή η φαινομενική του αμέλεια οφειλόταν, πιθανότατα, σε δύο αιτίες. Η μία είναι η παντελής έλλειψη φιλοδοξιών. Ο Γκάους, ένας ήρεμος, αυτάρκης και λιτός άνθρωπος, ο οποίος μεγάλωσε χωρίς υλικά αγαθά και που μάλλον ποτέ δεν αναζήτησε, δεν αισθανόταν την ανάγκη της επιβράβευσης από οποιονδήποτε, ούτε επιζητούσε κοινωνική άνοδο» (σελ. 81).

Ο Ρίμαν, ως προς την ταπεινότητα, ήταν φτιαγμένος με τα ίδια υλικά, όπως και ο δάσκαλός του -όπως, επίσης, και ο Αϊνστάιν. Αν αυτό συνδέεται και με το είδος των μαθηματικών προβλημάτων που τον απασχολούσαν είναι δύσκολο να διερευνηθεί.

Το σίγουρο, πάντως, είναι πως σε μια, ακόμη, από τις μεγάλες του συνεισφορές, την Αναλυτική Θεωρία Αριθμών, που προκύπτει από τη μίξη της Θεωρίας Αριθμών με τον Απειροστικό Λογισμό, ακολούθησε τις ενδείξεις του Γκάους.

Η παρουσίαση αυτού του επεισοδίου έγινε στο Βερολίνο τον Αύγουστο του 1859. Ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν γίνεται αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας - εξαιρετική τιμή για έναν τόσο νέο και άσημο μαθηματικό, μόλις 32 ετών. Έχει υποβάλλει μια εργασία, που έμελλε να γίνει διάσημη. Σε αυτήν ασχολήθηκε με το -φλέγον στην εποχή του- πρόβλημα σχετικά με το «πόσοι Πρώτοι Αριθμοί υπάρχουν μικρότεροι από ένα δεδομένο αριθμό». Και ισχυρίστηκε πως είχε αποδείξει μια πρόταση -τη μετέπειτα γνωστή ως Υπόθεση Ρίμαν- βάσει της οποίας το προηγούμενο πρόβλημα όχι μόνον είχε απαντηθεί, αλλά προέκυπτε και ο γενικός τύπος παραγωγής Πρώτων Αριθμών. Ας τα πάρουμε, όμως, με τη σειρά.

* * *

Προφανώς, θεωρούμε πως οι απλούστεροι των αριθμών δεν μπορεί παρά να είναι οι θετικοί ακέραιοι. Πράγματι, αυτοί είναι οι αριθμοί που όλοι οι άνθρωποι χρησιμοποιούν στη ζωή τους καθημερινά. Πώς θα μπορούσαν να συγκριθούν ως προς τη δυσκολία χρήσης τους με τα κλάσματα, τους δεκαδικούς, τους άρρητους με τα άπειρα και μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία; Ή, ακόμη περισσότερο, τους υπερβατικούς ή τους μιγαδικούς;

Κι όμως, αυτοί οι απλούστατοι θετικοί ακέραιοι εμπλέκονται σε κάποια από τα δυσκολότερα ερωτήματα των μαθηματικών, πράγμα που εξηγεί και το γεγονός πως ένας ολόκληρος κλάδος, η Θεωρία Αριθμών, ασχολείται αποκλειστικά μαζί τους. Προνομιακή, επιπλέον θέση, στην Θεωρία Αριθμών κατέχουν οι Πρώτοι Αριθμοί. Πρώτοι Αριθμοί είναι όσοι διαιρούνται αποκλειστικά και μόνο από τη μονάδα και τον εαυτό τους. Έτσι, ο αριθμός 8 δεν είναι πρώτος μια και, εκτός του 1 και του 8, διαιρέτες του είναι και οι αριθμοί 2 και 4. Αντίθετα, ο 7 είναι πρώτος στο μέτρο που διαιρείται μόνο από το 1 και το 7. Όπως επίσης, π.χ. ο 11. Ή ο 89. Ή ο 113... Και, όπως εύκολα αποδεικνύεται, άπειροι ακόμη τέτοιοι. Ο Ρίμαν, λοιπόν, στην περίφημη εργασία του υποστήριξε πως είχε βρει έναν τρόπο υπολογισμού των Πρώτων Αριθμών, που είναι μικρότεροι από ένα δεδομένο αριθμό[2]. Και ξεκίνησε την ιστορία που αφηγείται το βιβλίο του Ντερμπισάιρ.

* * *

Το σωτήριο έτος 1900, ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ, σε ένα παγκόσμιο συνέδριο μαθηματικών, που έμεινε στην ιστορία ακριβώς γι' αυτό το λόγο, παρουσίασε τα 23 σημαντικότερα προβλήματα των μαθηματικών, από την επίλυση των οποίων θα εξαρτιόταν η ίδια η πορεία της επιστήμης στο μέλλον[3]. 28 χρόνια μετά, κάνοντας έναν πρώτο απολογισμό, ταξινόμησε κατά αύξουσα σειρά δυσκολίας τα τρία «χειρότερα», ως εξής:

1.Η Υπόθεση του Ρίμαν, 2. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, 3. «Το 7ο» στην αρχική λίστα του 1900, που υποστήριζε περίπου (;) πως «αν α και β είναι αλγεβρικοί αριθμοί τότε ο αβ είναι υπερβατικός». Το 3ο από αυτά, που ταξινομούσε ως το δυσκολότερο, αποδείχτηκε λιγότερο από δέκα χρόνια μετά. Το 2ο περίμενε τον Άντριου Γουάιλς ως το 1995[4].

Η Υπόθεση του Ρίμαν είναι ακόμη εδώ αναπόδεικτη, κρατώντας το μυστήριο ενεργό.

Ήρθε η στιγμή να δοθεί η διατύπωση της: "Όλες οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ έχουν πραγματικό μέρος ίσο με 1/2". Η συνάρτηση έχει την αναλυτική μορφή ζ(σ) = 1 + 1/2σ + 1/3σ + 1/4σ + ... Η απόδειξη αυτής της πρότασης ίσως αποτελεί το δυσκολότερο πρόβλημα των μαθηματικών. Σίγουρα, πάντως, φαίνεται να είναι πολύ μακριά από τις σημερινές μας δυνατότητες.

Ο Ρίμαν πέθανε το 1866, λίγα χρόνια μετά από τη διατύπωση της Υπόθεσής του. Η σπιτονοικοκυρά του έκαψε όλα τα προσωπικά του χαρτιά και κανείς δεν έμαθε ποτέ αν την είχε όντως αποδείξει. Στην προσπάθεια που ακολούθησε για την απόδειξή της επί 150 χρόνια, αναπτύχθηκαν καινούργιες μεγάλες περιοχές όχι μόνο των μαθηματικών, αλλά και της φυσικής. Σήμερα οι θεωρητικοί των στοιχειωδών σωματιδίων επιχειρούν να κατανοήσουν την συμπεριφορά των δομικών συστατικών του κόσμου με βάση την κατανομή των πρώτων αριθμών. Και υπάρχει η εύλογη αίσθηση πως αυτή η περιοχή έρευνας κρύβει απαντήσεις σε ποικίλα επιστημονικά ερωτήματα, που κατ' αρχήν φαίνονται απολύτως άσχετα. Φαίνεται πως ο Ρίμαν ανακάλυψε έναν εντελώς ανεκτίμητο θησαυρό. Και το βιβλίο τού Ντερμπισάιρ είναι ένας μοναδικός οδηγός, για να το αντιληφθούμε.

---------------------------------------
1. Βλ. M.B.W. Tent, Καρλ Φρίντριχ Γκάους - Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών, Τραυλός, 2006

2. Για τους οποίους ήταν γνωστό το Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών, σύμφωνα με το οποίο π(Ν) ≈ Ν/logN, όπου Ν ο αριθμός τους μικρότερους Πρώτους του οποίου αναζητούμε.

3. Jeremy J. Gray, Η πρόκληση του Hilbert, Αλεξάνδρεια, 2007

4. Amir D. Aczel, Πώς ο A. Wiles έλυσε το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, Τροχαλία, 1998


Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Παρουσιάστηκε σφάλμα σε αυτό το gadget